Limite cazzuto

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Provate questo:
 
 lim(n->+inf)(n*sen(2*Pi*e*n!))
 
 Buon divertimento
 
 Ciao

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Mi piace molto... vedrò di pensarci un po\' su! Ciao...

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Andrea ... me l\'ha già proposto un mio amico che fa ing a Trento , effettivamente è molto carino ..... dovrebbe essere 2Pi se nn mi sbaglio...
 
 wl

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Sì è 2Pi ma il ragionamento per arrivarci?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

\"e\" è la solita base dei logaritmi naturali, vero?
 magari la formula di Eulero per sen(x) può aiutare...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

perchè a me viene 0? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 sen(2*Pi*e*n!)=(e2*Pi*e*n!*i - e -2*Pi*e*n!*i)/2i=[(-1)2*e*n! - (-1)2*e*n!]/2i=0
 (ePi*i=-1)
 
 
 quindi ogni termine è zero...

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

credo ti sia dimenticato che il seno viene moltiplicato per n

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

n*0=0
 
 comunque qualcosa è sicuramente sbagliato nel mio ragionamento, altrimenti ad esempio anche sen(2/3*pi) sarebbe zero, il che invece non è [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 19:37 ]

bug84 · Messaggio da **bug84** » 01 gen 1970, 01:33

a prima vista, non esiste. magari studiandolo meglio...

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

a me vien da dire che quel seno sicuramente non va a zero... o meglio, è sicuramente DIVERSO da zero, poi può anche tendere a zero.
 
 per il resto boh -.- non so da che parte cominciare

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

E allora... eccoci a noi! Per ogni n€N, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin relativo al punto x0 = 1 della funzione f(-): R --> R: x --> ex, troncato all\'ordine n-esimo con il resto in forma di Lagrange, si trova che:
 
 e = [sumk = 0, 1, ... n 1/(k!)] + (eθn)/(n+1)!
 
 ove θn --> 0 per n --> + inf. Ne seguita che, per ogni n€N:
 
 2Pi*e*n! = 2Pi * (n!) * {[sumk = 0, 1, ... n 1/(k!)] + (eθn)/(n+1)!} =
 
 = 2Pi * {[sumk = 0, 1, ... n (n!)/(k!)] + (eθn)/(n+1)}
 
 E poiché (n!)/(k!) è un intero, per qualsiasi k = 0, 1, ..., n, tanto è sufficiente per concludere che, comunque fissato un n€N:
 
 sin(2Pi*e*n!) = sin(2Pi * {[sumk = 0, 1, ... n (n!)/(k!)] + (eθn)/(n+1)}) =
 
 = sin(2Pi * [(eθn)/(n+1)])
 
 ove (come già detto) θn --> 0 per n --> + inf. Se ne conclude evidentemente che:
 
 limn-->+inf {n*sin(2Pi*e*n!) = limn-->+inf n*sin(2Pi*[(eθn)/(n+1)])} =
 
 =limn-->+inf{n*[(2Pi*eθn)/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*eθn)]*sin[2Pi*(eθn)/(n+1)]}=
 
 =2Pi*limn-->+inf{eθn*[n/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*eθn)]*sin[2Pi*(eθn)/(n+1)]} ....(#)
 
 D\'altro canto, è pure evidente che:
 
 limn-->+inf [n/(n+1)] = 1;
 
 limn-->+inf {[(n+1)/(2Pi*eθn)]*sin[2Pi*(eθn)/(n+1)]} = 1
 (basta ricordare che: x*sin(1/x) --> 1 per x --> inf)
 
 limn-->+inf eθn = e0 = 1
 (è stato precisato infatti che θn --> 0 per n --> +inf)
 
 Dunque, applicando il teorema del prodotto (nell\'algebra dei limiti), come lecito per via delle condizioni espresse dalle relazioni appena indicate, a partire dalla (#), si deduce infine che:
 
 limn-->+inf {n*sin(2Pi*e*n!) = 2Pi*(limn-->+inf eθn) * (limn-->+inf [n/(n+1)]) *
 
 * (limn-->+inf {[(n+1)/(2Pi*eθn)]*sin[2Pi*(eθn)/(n+1)]}) = 2Pi*1*1*1 = 2Pi
 
 Fine... ciaaaoooooooo...
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: in verità, sento di esser stato un tantino troppo conciso nelle mie argomentazioni; per cui, qualora vi fossero degli aspetti poco chiari nella soluzione da me proposta, non esitate a chiedere... ché certamente vi sarà detto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-01-2004 19:25 ]

anteo_07 · Messaggio da **anteo_07** » 01 gen 1970, 01:33

Talpuz, è probabile che tu abbia tentato, inavvertitamente, di estendere le proprietà dell\'esponenziale reale al campo complesso.
 Concorderai infatti che, in generale, per z, w € C:
 
 e^(z*w) != (e^z)^w.
 
 Per la dimostrazione... lascio a voi il piacere di ragionarci un po\' su.
 Io intanto posso dirvi che utilizzando un software di calcolo appropriato... è facile constatare che per valori di w razionali, reali o complessi, purchè non interi, la proprietà adottata da Talpuz non risulta verificata e ciò basta a sconsigliarne l\'utilizzo.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Sottoscrivo pienamente (o quasi...) l\'intervento di Anteo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

@anteo: grazie per la precisazione, l\'avevo intuito che era lì la falla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 @euler: non è possibile arrivarci senza sbudellamenti in serie (-jack202 copyright-) e resti di lagrange??