OliForum Matematico

Sia $a$ intero tale che $1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$. Calcolare il resto di $a$ modulo $13$.

Notiamo che $a=23! + \frac{23!}{2} + \frac{23!}{3} + \cdots + \frac{23!}{23}$ quindi poichè $13 \mid 23!$ si ha che $a \equiv \frac{23!}{13}$ poichè è l'unico elemento della somma che non è divisibile per $13$. Adesso notiamo che $\frac{23!}{13} = 12! \times 14 \times 15 \cdots \times 23$. Per il teorema di Wilson si ha $12! \equiv -1 \pmod {13}$ mentre $14 \times 15 \times \cdots \times 23 \equiv 10! \pmod{13}$ pertanto $a \equiv -10! \pmod {13}$. Notiamo che $10! = \frac{12!}{12\cdot 11}\equiv \frac{-1}{12\cdot 11} \equiv \frac{-1}{2} \pmod {13}$ e quindi $a \equiv \frac{1}{2} \pmod {13}$ e quindi $a$ è congruo all'inverso di $2$ modulo $13$ e quindi $a \equiv 7$.

Bene, vai col prossimo