Un numero $n $ si definisce $k $ regolare se esistono $k $ divisori distinti di $n$ $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_k $ tali che $n $ ha almeno $k$ divisori primi distinti e $1+d_2 + \cdots +d_k=n $. Dimostrare che esistono numeri $k $ regolari per qualsiasi $k \ge 6$.
Re: 193. Numeri regolari
Inviato: 09 gen 2016, 15:46
da Saro00
Vediamo un po'
Testo nascosto:
Dimostro per induzione che esistono.
Passo Base: (calato dal cielo, ma noo ) $ 3263442 = 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 139 $ è un numero $ 6 $ regolare.
Infatti ha $ 6 $ divisori primi distinti e $ 1+1806+75894+466206+1087814+1631721=3263442 $ dove gli addendi dell'LHS sono tutti divisori.
Passo Induttivo: Per ipotesi induttiva so che esiste un $ n $, un numero $ k $ regolare, tale che $ 1+d_2+⋯+d_k=n $ dove $ d_i $ è un divisore di $ n $.
Ponendo $ n'=n\cdot (n+1) $, si ha che $ n' $ è un numero $ k+1 $ regolare, infatti ha almeno $ k+1 $ divisori primi distinti (i $ k $ divisori primi di $ n $ più almeno un divisore primo di $ n+1 $).
Inoltre $ n'=n\cdot (n+1)=(n+1)\cdot(1+d_2+⋯+d_k)=1+n+(n+1)\cdot d_2 + ... + (n+1)\cdot d_k $ e quindi, essendo gli addendi dell'LHS tutti divisori di $ n' $, $ n' $ è un numero $ k+1 $ regolare.
) $ 3263442 = 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 139 $ è un numero $ 6 $ regolare. 