OliForum Matematico

per appassionati gli di fisica:
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<BR>un cavo teso orizzontalmente da un peso in B e stimolato verticalmente vicino ad A diventa sede di un\'onda elastica che si propaga con velocità v lungo il cavo. il peso della corda è trascurabile, e anche lo spostamento verticale rispetto ad AB
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<BR>1. v dipende dalla densità lineare diel cavo. come?
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<BR>2. supponiamo che il cavo sia composto di due pezzi di metalli diversi, di densità d_1 e d_2, lunghi l_1 e l_2, e giuntati in C, e che la perturbazione della corda sia sinusoidale con periodo T. quale condizione deve essere soddisfatta affinchè possa stabilirsi un\'onda stazionaria con nodi A,B,C?
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<BR>3. qual\'è la minima frequenza a cui si osserva l\'onda stazionaria?
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<BR>dopotutto non dovrebbe essere <b>troppo</b> difficile..
<BR>a voi la sentenza<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 18:33 ]

AleX, visto che sei in giro, dai un\'okkiata anche a questo, please <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

eccomi qui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> nn avevo avuto tempo di finire i conti...
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<BR>1)u=densità lineare del cavo
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<BR>v=sqrt(P/u)
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<BR>La dimostrazione si ottiene considerando un arco dS dello spostamento prodotto dalla perturbazione e approssimandolo ad un arco di circonferenza. Quello che si ottiene è il punto medio di tale arco risulta sottoposto a due tensioni, uguali in modulo ma vettorialmente diverse, formanti un angolo di quasi 180° (cioè 180° - dAlpha). La risultante dF è ortogonale alla tangente nel punto medio, e quindi diretta secondo il raggio della circonferenza. Risulta così assimilabile ad una Forza Centripeta. Ragionando su qualche triangolo simile si ottiene che dF/T=dS/R.
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<BR>Quindi m*a/T=dS/R
<BR>ma:
<BR>a=v²/R
<BR>m=l*u=dS*u
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<BR>quindi: (dS*u)*(v²/R)*(1/T)=dS/R
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<BR>semplificando: v=sqrt(T/u)
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<BR>2) A,B,C sono nodi.
<BR>quindi A,B,C sono, a due a due, o in fase o sfasati di pi.
<BR>Poniamo, senza perdere di generalità, φ_A=0
<BR>
<BR>a questo punto si può avere:
<BR>
<BR>φ_C=0 V φ_C=pi
<BR>φ_B=0 V φ_B=pi
<BR>
<BR>scriviamoci φ_C:
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<BR>(AC mod λ₁) : λ₁ = φ_C : 2pi
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<BR>ora possiamo notare come [AC mod λ₁] si possa scrivere sotto forma di differenza: [AC - n*λ₁] con n>=0 e n € N
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<BR>quindi otteniamo:
<BR>
<BR>φ_C=2pi*(AC-n*λ₁)/λ₁=2pi*(AC/λ₁)-n*2pi
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<BR>trattandosi di angoli di fase n*2pi si può tranquillamente elidere. Quindi:
<BR>
<BR>φ_C=2pi*(AC/λ₁)
<BR>
<BR>dalle condizioni di cui sopra deduciamo che φ_C=k*pi con k € N.
<BR>quindi 2pi*(AC/λ₁)=k*pi
<BR>λ₁=2*AC/k
<BR>
<BR>ora sostituiamo la Frequenza al posto della lunghezza d\'onda:
<BR>
<BR>f=k/(2AC)*sqrt(P/u₁)
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<BR>Facendo lo stesso ragionamento per quanto riguarda CB si ottiene
<BR>
<BR>f=h/(2CB)*sqrt(P/u₂)
<BR>
<BR>--------------------------------------------------------------------------------------
<BR>Quindi la frequenza deve soddisfare le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>f=k/(2AC)*sqrt(P/u₁)
<BR>f=h/(2CB)*sqrt(P/u₂)
<BR>
<BR>con h,k>0 e h,k € N
<BR>--------------------------------------------------------------------------------------
<BR>
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<BR>3) E ora passiamo alla fequenza minima. Eguagliamo le espressioni di cui sopra:
<BR>
<BR>k/(2AC)*sqrt(P/u₁)=h/(2CB)*sqrt(P/u₂)
<BR>
<BR>e ricaviamoci il rapporto k/h:
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<BR>k/h=(AC/BC)*sqrt(u₁/u₂)
<BR>
<BR>dato che k,h € N dall\'equazione di cui sopra è necessario ricavarsi un numero razionale al secondo termine. Se ciò è possibile allora ci si ricava i minimi valori possibili per h e k. Ad essi corrisponderà la frequenza minima.
<BR>
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<BR>Spero di non aver detto troppe cazzate... facendo questi conti nell\'ora di latino può capitare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>ciauz
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ah piccola nota sulla seconda domanda... ovviamente le condizioni che ho scritto hanno senso se e solo se sqrt(u₁/u₂) è un numero razionale. Altrimenti non è possibile ottenere alcuna coppia di valori interi per h,k.

thanks a lot! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>ora so a chi indirizzare gli es di fisica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Solo una precisazione, Talpuz: nn penso che il primo esercizio fosse considerato da dimostrare alla normale (ma ovviamente Alex ha fatto bene ad indicare la dimostrazione). Evidentemente è stata scelta come domanda di conoscenza: quella relazione è abbastanza nota!
<BR> Ciao

uppo visto che probabilmente cosma2000 voleva vedere questa soluzione