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Sia $H$ il punto medio di $AD$. Da $MH\parallel YD$ segue $\angle MHL\cong \angle JDC\cong\angle BDJ\cong \frac{\pi-\alpha}{2}$. Sia $N$ la proiezione di $J$ su $BD$. Allora vale la seguente catena di uguaglianze:
$$ DJ \cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}=DN=\frac{BD+DC-BC}{2}=\frac{BA+(AC-AD)-BC}{2}=\frac{BA+AC-BC}{2}-AH=AL-AH=HL$$
Inoltre per il teorema di Talete, $DJ=2HM$. Ma allora si ottiene $ HL=2HM\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}$. Calcoliamo dunque la lunghezza di $LM$ utilizzando il teorema di Carnot rispetto al triangolo $\triangle{LHM}$:
$$LM^2=LH^2+HM^2-2LH\cdot HM \cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}=4HM^2\cos^2{\frac{\pi-\alpha}{2}}+HM^2-4HM^2\cos^2{\frac{\pi-\alpha}{2}}=HM^2 \iff LM=HM$$
Ma allora $\triangle{LHM}$ è isoscele di base $LH$, dunque $\angle{HLM}\cong\angle{MHL}\cong \frac{\pi-\alpha}{2}$. Inoltre $\angle{ALK}\cong\frac{\pi-\alpha}{2}$. Essendo $J$ interno a $\triangle{DBC}$, e quindi in particolare anche interno a $\triangle{ABC}$, allora anche $M$ è interno a $\triangle{ABC}$, dunque $M,K$ sono nello stesso semipiano rispetto alla retta $AL$ ed essendo $\angle{ALM}\cong\angle{ALK}$, allora $L$, $M$, $K$ sono allineati.