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Dimostrare che, se $\zeta$ è una radice complessa $(2^{n}+1)$esima dell'unità, allora esistono due polinomi $p(x), q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tali che $\zeta$ è radice del polinomio
$$k(x)\ :=\ \ p(x)^2+q(x)^2+1$$

Un piccolo hint?
Niente di significativo, giusto per instradarsi; perché le ho provate tutte e a parte qualche piccola idea non sono giunto a nulla di concreto

Non leggete se il problema vi ispira.

C'è qualcosa che non mi torna
Se non ho capito male, $\zeta$ è una qualsiasi radice $(2^n+1)$-esima radice dell'unità, per cui, se la tesi vale, in particolare prendendo $\zeta =1$ devono esistere due polinomi a coefficienti interi $p(x)$ e $q(x)$ tali che
\[
k(1)=0 \iff p(1)^2+q(1)^2=-1
\]
Ma $p(1)$ e $q(1)$ sono interi, in quanto sono pari alla somma dei coefficienti di ciascun polinomio. Ma allora ciò è assurdo, perché avremmo una somma di quadrati di interi che è minore di $0$. Dove sbaglio?

@MATHia: Scusa se ti rispondo solo ora, ma non avevo visto la domanda...
Semplicemente quando scrivo complessa in realtà intendo anche che è "non reale"! In pratica implicitamente (in effetti un po' troppo...) avevo escluso quella radice dalle possibilità; il perché è evidente dal controesempio che hai trovato.

PS: visto che resiste da un sacco di tempo ed è stato riesumato, distruggetelo già che ci siete