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Facile, ma sono curioso di vedere come lo fate

Date due circonferenze di raggio 1, tangenti l'una all'altra, e una retta tangente ad entrambe le circonferenze parallela al segmento che unisce i centri.
Costruiamo il quadrato che ha un vertice su ciascuna circonferenza, che ha un lato sulla retta ed è nello stesso semipiano delle circonferenze rispetto alla retta.
Quanto vale il lato del quadrato?

Proietto sulla retta e dovrebbe essere la distanza tra i centri più (o anche meno) $2$

Scusa, ho editato il testo che mancavano dei dettagli.
Comunque per capirci:

Ci sono due circonferenze grandi attaccate l'una all'altra, quindi i centri sono a distanza 2.
C'è una retta che le tange entrambe ed è parallela al segmento che unisce i centri.
C'è un quadrato piccolo che è sta posizionato tra la retta e le due circonferenze, quindi ha lato <1

SBAGLIATO

Io ho trovato un risultato differente, ecco la mia dimostrazione:
Poniamo le due circonferenze in un piano cartesiano in modo tale che il punto di tangenza, che chiameremo [math]O, abbia coordinate [math](0;0). Wlog poniamo i centri delle altre due circonferenze in [math]A(-1;0) e [math]D(1;0). La retta parallela che dobbiamo costruire la facciamo passare per i punti [math]B(-1;1) su [math]C_{A} e [math]E(1;1) su [math]C_{D}. Chiaramente il punto medio del lato del quadrato appartenente a [math]r_{BE} sarà la proiezione su tale retta di [math]O e quindi avrà coordinate [math](0;1). Posizioniamo i vertici del quadrato: i due vertici, [math]X, [math]Y [math]:X,Y\in y=1 sono simmetrici rispetto ad [math]H ed avranno coordinate rispettivamente [math]X(-k;1) e [math]Y(k;1). Sia [math]W il vertice su [math]C_{A}: avrà coordinate [math](-k;1-2k). Analogamente [math]Z(k;1-2k) su [math]C_{D}. Per semplici calcoli
[math]C_{A}:x^{2}+y^{2}+2x=0. Sostituendo le coordinate di [math]W otteniamo l'equazione [math]5k^{2}-6k+1, da cui otteniamo [math]k=1/5. Il lato del quadrato misura [math]2k=2/5 e verificando effettivamente funziona. Dove sbaglio?

Ho sbagliato io

Senza troppi garbugli: il raggio meno $l$ e il raggio meno $\frac{l}{2}$ sono due cateti che hanno come ipotenusa il raggio stesso, comodamente unitario.. un'equazione e bon