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Per prima cosa dimostriamo che il punto d'intersezione fra $B'E$ e $C'F$ sta sulla circoscritta ad $ABC$. Per dimostrarlo supponiamo di avere solo $E$ fissato su $AC$ e chiamiamo $Q$ l'intersezione fra $B'E$ e la circoscritta e sia $F$ l'intersezione fra $AB$ e $QC$. Notiamo che vale $\angle EAF = \angle EQF$ pertanto $AQEF$ è ciclico, ma poichè lo è anche $AQCC'$ e $E \in AC$ deve valere $EF || CC'$ . Adesso notiamo che $\angle B'QC = \angle BCC'$ poichè $BC' = B'C$ dato che $BB' || CC'$ e $BB'CC'$ ciclico, mentre per il parallelismo fra $ED$ e $CC'$ vale $\angle DCC' = \angle EDC$ da cui si ricava $QDCE$ ciclico. Adesso notiamo che $\angle QEF = \angle C - \angle QCE$ ma per la ciclicità appena dimostrata $\angle QCE = \angle QDE$ pertanto $\angle QED + \angle QDE = \angle C$. In precedenza abbiamo dimostrato che $\angle EQF = \angle A$ quindi $\angle FQD = \angle B$ e poichè $\angle A'QC' = \angle B$ poichè $AA'BB'$ è trapezio iscoscele poichè $AA' || BB'$ ove quindi $AC=A'C'$ e $F \in QC'$ vale che $Q,A',D$ sono allineati e che quindi quelle tre rette schifose concorrono in $Q$.

Prendo il punto di Miquel di $ABC$ ed $m$ e faccio vedere che concorrono in quello (sono due angoli da spostare).