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Con $ [ABC] $ si intende l'area del trangolo di vertici $ A, B, C $.
Sia $ H $ il piede dell'altezza uscente da $ C $ e $ L $ la proiezione di $ P $ su $ BC $.
L'area di $ \triangle APB $ la troviamo con $ [APB]=\frac{AB\cdot PH}{2} $ mentre definiamo l'area di $ APC $ come $ [APC]=\frac{AB\cdot CH}{2}-[CPB]-[APB] $.
Quest'ultima vale $ [APC]=\frac{AB\cdot CH}{2}-\frac{BC\cdot PL}{2}-\frac{AB\cdot PH}{2} $.
Facciamo quindi il rapporto $ \frac{[APC]}{[APB]}=\frac{CH}{PH}-\frac{BC\cdot PL}{AB\cdot PH}-1 $. Ricordando che, siccome $ P $ appartiene alla bisettrice di $ B $, allora è equidistante da $ BC, AB $ e quindi $ PH=PL $.
Il rapporto vale quindi $ \frac{[APC]}{[APB]}=\frac{CH}{PH}-\frac{BC}{AB}-1 $. Per le ipotesi che i lati sono di lunghezza intera, possiamo dire che $ \frac{BC}{AB}-1 $ è razionale. Ci basta quindi mostrare che anche $ \frac{CH}{PH} $ lo è. Riscriviamo come $ \frac{CP+PH}{PH}=1+\frac{CP}{PH} $. Ora, $ B $ è bisettrice anche nel triangolo rettangolo $ BCH $, da cui per il teorema della bisettrice $ \frac{CP}{PH}=\frac{BC}{BH} $. Ma $ BH=BC\cdot cos(B) $. Il problema è quindi diventato dimostrare che $ cos(B) $ è razionale. Ma per il teorema di Carnot su $ ABC $, $ cos(B)=\frac{BC^2+BA^2-AC^2}{2BC\cdot BA} $ che per ipotesi è razionale. Quindi il rapporto tra le aree è razionale