Buono a sapersi!
Inviato: 04 apr 2016, 20:27
Siano $m$ un intero positivo e $n>m$ un intero. Dimostrare che $n^2-(2m-1)n+m^2-m$ non è un quadrato perfetto.
Testo nascosto:
Svolgendo i conti si ottiene $ m^{2}-2mn + n^{2} + n - m = t^{2} $
Ponendo $ n-m = k $ con $ k\in\mathbb{N} $ si ha $ k^{2}+k=t^{2} $ ovvero
$ k(k+1) = t^{2} $ ma visto che $ k $ e $ k+1 $ sono coprimi segue che il loro prodotto è un quadrato perfetto solo se lo sono entrambi, gli unici quadrati perfetti consecutivi sono $ 0 $ e $ 1 $ ma ovviamente non soddisfano perché abbiamo supposto $ n>m $
Ponendo $ n-m = k $ con $ k\in\mathbb{N} $ si ha $ k^{2}+k=t^{2} $ ovvero
$ k(k+1) = t^{2} $ ma visto che $ k $ e $ k+1 $ sono coprimi segue che il loro prodotto è un quadrato perfetto solo se lo sono entrambi, gli unici quadrati perfetti consecutivi sono $ 0 $ e $ 1 $ ma ovviamente non soddisfano perché abbiamo supposto $ n>m $