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Diciamo che un insieme $ S $ è carino se è un sottoinsieme non vuoto dell'insieme $ \{\ 1,2,3,\ldots ,2016 \} $ e il prodotto degli elementi di $ S $ è una potenza perfetta di $ 10 $.
Qual è la cardinalità del più grande degli insiemi carini?

scherzavo

Si

Allora quando arrivo a casa pubblico la soluzione

probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente

il filosofo ha scritto:probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente

La soluzione è giusta, solo che la dimostrazione diciamo che non è rigorosa. Tu hai semplicemente dimostrato che con 21 è possibile, ma non hai effettivamente dimostrato che è il massimo. Cioè lo hai ritenuto implicito, ma va dimostrato che ad esempio con 22 non si può