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L'es è tratto dal libro " Elementi di Algebra 2" di Amaldi, Enriques che ho trovato stamattina in soffitta
Si dimostri che fra il prodotto $ P $ di $ n $ termini consecutivi di una progressione geometrica, la loro somma $ S $ e la somma $ S' $ dei loro reciproci passa la relazione:
$ S' ^{n} P^{2} = S^{n} $

Intanto gli n termini della successione sono a, ar, ..., ar^(n-1)
S=a+ar+...+ar^(n-1)=a[(r^n-1)/(r-1)]
P=a^n r^[n(n-1)/2]
S‘=1/a+...+1/ar^(n-1)=[(1/r^n)-1]/a[(1/r)-1]
Vogliamo che P^2 (S')^n=S^n →
→(a^2n) [r^(n^2-n)] [1/(r^n)-1]^n/ (a^n) [(1/r)-1]^n=a^n [(r^n)-1]^n/ (r-1)^n→
[r^(n^2-n)] [1/(r^n)-1]^n/ [(1/r)-1]^n=[(r^n)-1]^n/ (r-1)^n→
r^(n^2-n) {[(1/r^n)-1]}^n (r-1)^n=[(r^n)-1]^n [(1/r)-1]^n→
{r^(n-1) [1/(r^n)-1](r-1)}^n={[(r^n)-1] [(1/r)-1]}^n
Facendo la radice e prendendo il risultato positivo→
r^(n-1) {[(1/r^n)-1] (r-1)=[(r^n)-1] [(1/r)-1]
sviluppando i calcoli
1-r^n-r^(-1)+r^(n-1)=r^(n-1)-r^n-(1/r)+1
e l' uguaglianza è dimostrata
P.S. mi potete dire come mettere gli esponenti piccoli sopra il numero?
grazie

Per scrivere in modo un po' più leggibile le formule, di solito si usa il $\LaTeX$. Per informazione al riguardo, puoi guardare, provare e chiedere qui

grazie mille