OliForum Matematico

In una gara di matematica si propongono $3$ problemi, ciascuno dei quali viene valutato con un punteggio intero compreso tra $0$ e $7$ (estremi inclusi). Si sa che, comunque si scelgano due concorrenti, c'è al più un esercizio su cui questi hanno ottenuto lo stesso punteggio (per esempio, non ci sono due concorrenti i cui punteggi sui tre esercizi siano $7$, $1$, $2$ per il primo e $7$, $5$, $2$ per il secondo, ma ci potrebbero essere due concorrenti i cui punteggi siano $7$, $1$, $2$ e $7$, $2$, $1$). Quanti sono al massimo i partecipanti alla gara?

Ordiniamo i concorrenti e siano $ a_i, b_i, c_i\in [0,7]$ i rispettivi voti del concorrente $i$. Sia $q_a(n): [0,7]\to \mathbb N$ il numero di $a_i=n$ e $N$ il numero di concorrenti. Se $q_a(i)>8$ per qualche $i$ allora dovrebbero esistere più di 8 $b_i$ diversi tra loro, assurdo.
$N=\sum q_a(i)\le 64$
Adesso mostriamo che esiste una configurazione di 64 concorrenti. Prendiamo $a_i=\lfloor\frac i 8\rfloor$, adesso basta dimostrare che esiste una partizione $P$ di $[0,7]^2$ in 8 parti per cui se $(a,b), (a_1,b_1)\in P_i,\; (a,b)\ne(a_1,b_1) \Rightarrow a\ne a_1\land b\ne b_1$. Basta ad esempio prendere $P_i: \{(a,b) | b-a\equiv i \pmod 8\}$.
In parole povere sto considerando $(0,0,0), \; (0,1,1),\dots, (0,7,7),\;(1,0,1),\;(1,1,2),\;(1,2,3),\dots, (7,6,5), \;(7,7,6)$
Sono crudele perché nessuno fa 21?

ii) Quante configurazioni diverse esistono?