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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Quanah
Data una successione definita così:
<BR>
<BR>a_0 = 1
<BR>a_1 = 1
<BR>
<BR>a_n = ( sum(i=0...n-1) a_i ^2 ) / (n-1)
<BR>
<BR>La domanda è: tutti gli a_i sono interi?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
se non ho sbagliato i conti gli a_i soddisfano la più semplice relazione di ricorrenza
<BR>
<BR>a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>[n-1+a<sub>n</sub>]/n
<BR>
<BR>e da qui per induzione dovrebbe saltar fuori qualcosa
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da J4Ck202
Aggiungo anche una mia congettura a questo simpatico problema..
<BR>
<BR>Esistono delle costanti a,b,c in R tali che
<BR>
<BR>-- lim[n->+inf] a[n] / e^((2^n)/(4n) + an^2 + bn +c) = 1
<BR>
<BR>(sembra vero.. ma lo sarà?)
<BR>
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Quanah
Per completezza di informazione (cosa rara di questi tempi) aggiungo che non so la soluzione...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
e io aggiungo che, facendosi i conti dalla relazione del mio post precedente, basta dimostrare che n | a<sub>n</sub><sup>2</sup>-a<sub>n</sub>
<BR>
<BR>il che dovrebbe essere intuitivamente facile da fare per induzione..
<BR>
<BR>provateci!
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Simo_the_wolf
Aggiungo quest\'altro problema
<BR>
<BR>dimostrare che se (a+1/a) è intero anche (a^n+1/(a^n)) è intero
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
induzione usando l\'identità
<BR>
<BR>(a<sup>k-1</sup>+(1/a)<sup>k-1</sup>)(a+1/a)=a<sup>k</sup>+(1/a)<sup>k</sup>+a*1/a(a<sup>k-2</sup>+(1/a)<sup>k-2</sup>)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 13-01-2004 22:12 ]