[disclaimer: tutto quello che dirò è opinione personale. anche perché non credo che la tua domanda abbia una risposta univoca.]
come diceva qualcuno (onestamente, non ricordo chi), "la domanda è malposta". la risposta, di conseguenza, sarà vaga (e sbagliata), ma cercherò di organizzarla meglio che posso, sperando che comunque possa interessare a qualcuno. "la ricerca" è una cosa molto complessa, e non tanto (o non solo) perché richiede tempo, ma anche perché ci sono un sacco di variabili. quelle che mi vengono in mente, così su due piedi:
- variabile 0 (non ovvia, in versione base): che cos'è un "problema di ricerca"? è capire bene un esempio? è un lemma? è un teorema? è una cosa che cambia il settore in cui lavori?
per darci un tono, definiamo "problema di ricerca" una cosa che, scritta per bene, potrebbe essere accettata in una rivista decente. e diciamo che occupi almeno qualche pagina di matematica non banale.
- variabile 1 (ovvia): la persona che fa ricerca. se sei terry tao (per dirne uno), risolvere un problema di ricerca al mese è routine. se sei ma_go, risolverne uno ogni quattro mesi è un mezzo miracolo.
questa variabile comprende anche le collaborazioni, la gente che c'è in dipartimento, e la capacità di scrivere matematica bene (che è fondamentale) e velocemente.
- variabile 2 (ovvia dall'interno, meno dall'esterno): il settore in cui fai ricerca. ci sono enormi variazioni tra i vari settori. io mi occupo di geometria, che generalmente è un settore abbastanza tecnico, dove si pubblica relativamente poco (meno che in analisi e combinatoria, più che in logica, tipo -- non so confrontare con teoria dei numeri/algebra o altri settori). a volte il barrage di tecnica può essere un aiuto (più strumenti ergo più problemi E più strade per risolverli), all'inizio è un ostacolo (perché hai un sacco di roba da imparare e un sacco di strada da recuperare sugli "esperti" del settore). ogni tanto, offusca le idee, quando uno si interessa più dello strumento X fine a se stesso anziché dei problemi che X era nato per risolvere.
- variabile 3 (ovvero la variabile 0, in versione non ovvia): dal mio punto di vista, una delle cose più difficili del mio lavoro è capire quali sono le domande giuste. da un lato ci sono domande difficili, che fanno da stella polare (ad esempio, la congettura di poincaré e il teorema di fermat erano di questo rango), dall'altro ci sono le cose che sai fare. capire quali domande siano contemporaneamente interessanti (per altri, per il settore) e accessibili (per te) è davvero complicato. [di questo ti accorgerai, un po' in piccolo, se/quando passerai dal lato oscuro delle olimpiadi, ovvero quando proverai a proporre dei problemi.]
cercando di sintetizzare: se uno trova la domanda giusta (e ci vogliono fortuna e bravura, e/o degli ottimi maestri) ed è un po' sveglio, risolvere un problema in un mese non è un'utopia. (scriverlo per bene, poi, è un altro discorso.) il fatto è che ci vogliono esperienza/sensibilità e conoscenza della letteratura per capire quali siano le domande giuste.
ogni tanto c'è la botta di culo: qualcun altro scrive un articolo, fa una domanda a cui non sa rispondere, tu per caso hai gli strumenti per risolverla e/o ti si accende la lampadina, e in qualche giorno il problema è risolto (diciamo a meno di dettagli) e in un mese (o meno) hai una bozza di articolo ragionevole. ma succede davvero raramente (almeno, a me non è mai capitato in questa forma).
tornando alla domanda originale, "si può fare ricerca in un mese?", faccio un esempio concreto. in molte università statunitensi (e in qualcuna europea) ci sono dei progetti di ricerca estivi per studenti della laurea. la mia impressione, per il mio settore, è che spesso detti studenti facciano delle cose senza sapere bene perché, sotto la guida di qualcuno di esperto (che ha chiaro il problema, il contesto, ha pensato alla domanda giusta e ad una strada per attaccarla). alla fine della storia, spesso ci scappa fuori un articolo, ma mi sembra un po' una forzatura dire che "degli studenti hanno risolto un problema di ricerca in un mese" riferendomi a queste attività (per via dell'eminenza grigia che ha lavorato a monte).