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1) soluzione banale: $x=0$, $y=0$ e $p$ primo qualsiasi
2) suppongo $x\neq 0$ e $y\neq 0$.
Riscrivo
\[
x^{3}(x^{3}+y)=py^{2}
\]
come un'equazione di secondo grado in $y$
\[
py^{2}-x^{3}y-x^{6}=0
\]
Per aver soluzioni apparteneti a $\mathbb{Q}$ devo avere $\Delta=k^{2}$.
Quindi
\[
\Delta=x^{6}+4x^{6}p=x^{6}(4p+1)=k^{2}
\]
In particolare anche $4p+1$ dovrà essere un quadrato.
Quindi
\[
4p+1=q^{2}
\]
\[
4p=(q-1)(q+1)
\]
Sia $q+1$ che $q-1$, avendo la stessa parità, devono essere chiaramente pari.
$MCD(q+1;q-1)=MCD(q-1;2)=2$ e $q+1>q-1$
Ho un solo caso possibile
\[
\begin{cases}
q+1=2p\\
q-1=2
\end{cases}
\]
che da come soluzioni $q=3$ e $p=2$.
Quindi $\Delta=9x^{6}$
\[
y_{1}=\dfrac{x^{3}+3x^{3}}{4}=x^{3}
\]
e
\[
y_{2}=\dfrac{x^{3}-3x^{3}}{4}=-\dfrac {x^{3}}{2}
\]
che è accettabile solo per $x$ pari.

Nella soluzione ufficiale viene detto che la famiglia di soluzioni ($p,0,0$) vale per i primi dispari e non capisco come mai sia escluso il caso $p=2$. Inoltre viene citata come altra famiglia di soluzioni ($2,x,x^{3}$) mentre non viene menzionata per $x$ pari la famiglia ($2,x,-\frac{x^{3}}{2}$) e nemmeno qui capisco il perché. Qualcuno potrebbe chiarire i miei dubbi? Grazie.

Riguardo al primo dubbio, secondo me non è sbagliato come hanno scritto: il caso [math](2,0,0) di fatto è compreso in quello più generale [math](2, x, x^3). Invece l'altro evidentemente è stato dimenticato. Dov'è che hai trovato le soluzioni? Nel solito sito delle videolezioni di Max ho trovato solo gli aiutini, in cui alla fine si parla di due famiglie infinite di soluzioni, per cui penso che la tua sia giusta.

Per quanto riguarda il mio primo dubbio hai ragione, dipende solo da come si separano i casi. Credo che anche se nella mia soluzione ho fatto rientrare il caso ($2,0,0$) nella famiglia ($p,0,0$) anziché in quella ($2,x,x^{3}$) avendo distinto i casi con $x,y=0$ e quello con $x,y\neq 0$ nessuno la contesterebbe.