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Considero l'equazione
\[
p^{2}+1=2y^{2}
\]
Sostituisco $p$ con un generico intero $k$.
L'equazione
\[
k^{2}-2y^{2}=-1
\]
è un'equazione di tipo Pell la cui soluzione più piccola è $k+\sqrt{2}y=1+\sqrt{2}$
Risolvo l'equazione Pell
\[
k^{2}-2y^{2}=1
\]
la soluzione fondamentale è $k+\sqrt{2}y=3+2\sqrt{2}$.
Tutte le soluzioni dell'equazione di tipo Pell sono
\[
k+\sqrt{2}y=\pm(1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^{l}
\]
Inoltre $(1+\sqrt{2})^{2}=(3+2\sqrt{2})$.
Quindi
\[
k+\sqrt{2}y=\pm(1+\sqrt{2})^{2l+1}
\]
In particolare $p$ dovrà essere della forma (considero solo il caso in cui $p>0$)
\[
p=\dfrac{(1+\sqrt{2})^{2l+1}+(1-\sqrt{2})^{2l+1}}{2}=\sum_{i pari}\binom{2l+1}{i}(\sqrt{2})^{i}=\sum_{i pari}\binom{2l+1}{i}2^{\frac{i}{2}}
\]
Ora credo che se riuscissi a dimostrare che $x$ è pari potrei dimostrare che l'unico numero $n\equiv -1$ (mod $8$) che può essere espresso nella forma che ho scritto sopra è $7$, che è anche l'unica soluzione del sistema. Il problema è che ho provato un po' di congruenze diverse ma non riesco trovare contraddizioni e quindi un modo differente per fare questo passaggio della dimostrazione rispetto a quanto proposto nelle soluzioni ufficiali.

Ho anche dimostrato che $y$ deve essere dispari in questo modo:
\[
(p+1)^{2}-2p=2y^{2}
\]
\[
4x^{4}-2p=2y^{2}
\]
\[
p=2x^{4}-y^{2}
\]
e vedendo facilmente che $p$ deve essere dispari, deve essere dispari anche $y$.
Tuttavia non riesco ad andare oltre.
Ho anche pensato di provare a dimostrare, ammesso che sia vero, che esiste un numero finito di primi $p$ esprimibili come soluzione di quell'equazione di tipo Pell ma non ho idea di come fare. Ho provato per alcuni valori di $l$ e ho trovato come risultati altri primi, congrui però a $1$ modulo $8$ e, a meno di probabilissimi errori di calcolo, mi sembra che per $l=8$ il numero che risulta non sia primo, ma non ho idea se sia solo un caso o se significhi che quei binomiali non generano più numeri primi da un certo punto in poi.
Grazie per qualsiasi aiuto.