Due domande sui ciclotomici in $\mathbb{F}_p$

[Rho33]

In relazione all'ultimo esercizio che ho postato in Algebra sui polinomi irriducibili, mi sono posto due domande (e forse una sorta di congettura):

1)Esiste un criterio per stabilire quali polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_p$ ? Tipo facendo qualche caso stupido, mi sembra di capire che $p$ deve essere generatore modulo $n$, ma non so proprio come dimostrarlo, e men che meno se sia vero

2)Esiste un criterio per stabilire quali polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$ sono riducibili su $\mathbb{F}_p$ per ogni primo $p$ ? Qui ho buio assoluto, l'unico polinomio di cui sono a conoscenza è il classico $p(x)=x^4+1$ (che trovate nell'esercizio), ma niente di più (e non credo di poter nemmeno replicare la dimostrazione per qualche altro ciclotomico...)

[darkcrystal]

Dunque, (1) è vero, $\Phi_n(x)$ è irriducibile modulo $p$ se e solo se $p$ genera modulo $n$. Dimostrare questo fatto è un po' fastidioso senza avere a disposizione alcuno strumento di teoria... mo' vedo se mi viene in mente un modo elementare di raccontare l'idea.

Detto questo, una risposta a (2) segue da (1). Sostengo che $\Phi_n(x)$ è riducibile modulo ogni primo $p$ se e solo se NON esiste un generatore modulo $n$. Vediamo perché.
EDIT: ho cambiato idea. Lascio la soluzione, ma in spoiler, perché mi sembra un esercizio fattibile, una volta che si sanno sia (1) che la caratterizzazione giusta...

Testo nascosto:

$\Leftarrow$ se non c'è un generatore modulo $n$, allora in particolare $p$ non è un generatore modulo $n$ e quindi $\Phi_n(x)$ si fattorizza modulo $p$
$\Rightarrow$ supponiamo per assurdo che ci sia un generatore modulo $n$, diciamo $k$. Allora senz'altro $(n,k)=1$ (altrimenti abbiamo poche speranze che $k$ generi modulo $n$), e il famoso teorema di Dirichlet ci assicura che esiste un primo $p \equiv k \pmod n$. Ma allora $p$ genera modulo $n$, e per (1) il polinomio $\Phi_n(x)$ è irriducibile modulo $p$, contraddizione.

[darkcrystal]

Guarda, ci ho pensato un po', e alla fine tutte le dimostrazioni di (1) che trovo consistono nel ricostruire (con fatica, in un linguaggio che purtroppo non è quello giusto...) la teoria dei campi finiti; a meno che non passi di qui qualcuno con una grande ispirazione, temo che per vedere la dimostrazione dovrai aspettare un corso universitario - ma a quel punto saprai dimostrare mooolto di più! Per esempio, tanto per curiosità: se $r$ è l'ordine di $p$ modulo $n$ (assumendo che $p$ non divida $n$), allora $\Phi_n(x)$ si fattorizza modulo $p$ come prodotto di $\displaystyle \frac{\varphi(n)}{r}$ fattori irriducibili, ognuno di grado $r$.

[Rho33]

Innanzitutto, grazie mille per la risposta! Un po' dispiace di non essere in grado di ricavare/comprendere la dimostrazione del primo fatto (e della tua curiosità), però me ne farò una ragione (a meno che non vi sia qualcosa di almeno lontanamente olimpico che permetta di affrontarle )

Uhm, non avevo pensato a sfruttare il primo punto per risolvere il secondo, ora ci penso un po' su e casomai posto ciò che ricavo! Grazie mille per le risposte

[Sirio]

Visto che siamo in questa sezione... Qualcuno cortesemente mi spiega che cos'è $\mathbb{F}_p$? Grazie mille

[fph]

L'insieme delle $p$ classi di resto modulo $p$, con le operazioni di somma e prodotto modulo $p$ (che lo rendono un campo).

[Sirio]

Quindi $\mathbb{F}_7=\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$ e $6+5=4$?

[fph]

Sì. Poi se capita qualcuno in vena di formalismi potrebbe mettersi a discutere se quegli oggetti "sono" 1;2;3;4;5;6 o se bisognerebbe indicarli con un altro simbolo tipo $[1]$ o $\bar{1}$, ma quello che importa è come si comportano rispetto alle operazioni.