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Scusate se non è Matematica pura, però è un problema che mi assilla da tempo.
 Come qualcuno di voi saprà, la fisica non è il mio forte <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> e mi ritrovo a non cavar piede da ciò: se leggete le mie informazioni utente saprete che sono appassionato di badminton (alcuni lo chiamano volàno, quel gioco che alcuni odiano <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ) e lo pratico... (<a href=http://www.badminton-italia.com/Classifica/59/man.htm target=classifica>sono in serie C</a>, 181° in Italia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ). Orbene, il volano è una pallina di sughero e piume che pesa circa 5 g ed è sottoposto a un attrito coll\'aria molto significativo. Sicché, nello studiarne il moto non è trascurabile la resistenza. Non so se ci avete mai giocato o visto qualche scena di questo sport, cmq il volano fa una traiettoria molto strana: sale quasi lungo una retta, arriva al max e scende mooolto lentamente quasi subito a velocità costante, quasi sulla perpendicolare del max (x farvene un\'idea guardate <a href=http://utenti.tripod.it/BIELLABADMINTON/dati3.htm#COLPI target=clear>l\'immagine</a>; il colpo a cui mi riferisco è il clear - nella figura il numero 5). Tutto ciò è facilmente spiegabile, x\' in ascesa le due forze che agiscono su di esso (peso e attrito, che dovrebbero essere F=mg e A=kv2) sono entrambe verso il basso e si sommano, viceversa in discesa A è verso l\'alto.
 
 Arrivo al punto: voglio calcolare tutto il calcolabile (tempo di ascesa, di discesa, gittata, v limite in discesa, et cetera) del moto del volano in funzione della v iniziale e dell\'angolo alpha della v iniziale con le ascisse. Ma mi trovo di fronte al problema maaaai incontrato in fisica in un liceo scientifico a corso ordinario (sigh) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> di un moto in cui l\'accelerazione varia ad ogni istante, essendo l\'attrito A proporzionale alla velocità e variando questa ad ogni istante. Credo, così, a sentimento, che arrivi in soccorso l\'analisi, coi suoi begli integralini... ma non riesco a concludere nulla.
 Saprebbe qualche anima generosa darmi una qualche dritta? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 
 Questo problemone forse sarebbe stato + opportuno porlo in una ML o in un forum di Fisica, ma fa nulla... credo (so) che ci sono ottimi fisici anche qui. (Alberto, ne sai qualcosa? Hm? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
 
 Tschüss
 Lucio [ This message was edited by: Lucio on 2001-03-22 22:16 ]

Ciao Lucio, io non sono un bravo fisico, ma provo a darti un abbozzo di risposta. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Secondo la tua schematizzazione, l\'attrito è proporzionale a v^2. Mi atterrò a questo modello.
 
 Dunque, in orizzontale si può impostare la seguente eq differenziale:
 dv/dt = -kv^2
 dv/v^2 = -k dt
 integriamo entrambi i membri:
 int(v^(-2) dt) = -k int(dt)
 -1/v = -kt + h
 1/v = kt - h
 v = 1/(kt - h)
 dove h = -1/vx0 (vx0 è la velocità iniziale orizzontale)
 
 otteniamo dunque (a meno di errori di calcolo)
 vx(t) = vx0/(k vx0 t + 1)
 
 integrando nuovamente hai l\'equazione oraria in orizzontale, che dovrebbe essere:
 sx(t) = ln(k vx0 t + 1)/k
 
 ---
 
 In verticale, posto che la velocità sia positiva verso l\'alto, l\'attrito è -kv^2 nel tratto ascendente, e kv^2 nel tratto discendente, cioè -kv abs(v)
 
 A causa dell\'accelerazione di gravità g l\'equazione differenziale risultante non è a variabili separabili e quindi non la so risolvere.
 
 Tuttavia, studiando l\'equazione oraria in orizzontale, credo che si possa stabilire per quale t la sx \"va a regime\", cioè non aumenta sensibilmente, e quindi calcolarti un\'approssimativa gittata.
 
 Spero di non aver scritto eresie <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Ciao!

Mi sono accorto che l\'equazione differenziale per la componente verticale del moto è anch\'essa a variabili separabili. I calcoli sono parecchio complicati, quindi non li riporto anche perché in ascii sarebbe una gran confusione. Il risultato cmq è questo (almeno spero):
 
 tratto ascendente
 sy(t) = -1/k ln(sqrt(g/k) cos(sqrt(gk) t) - vy0 sen(sqrt(gk) t))
 
 tratto discendente
 sy(t) = sy0 + (2 ln(e^(2sqrt(gk) t) - 1) - 2sqrt(gk) t)/(2k)
 
 Ciao!

Il fatto è che l\'attrito dinamico pallina-aria è direttamente proporzionale alla velocità....
 
 F[attrito] = lambda * v
 
 dove lambda è il coeff d\'attrito...
 In ogni caso ho postato tutto sulla mailing list..
 
 Dovrei esser nel giusto, in quanto le formule che ho ottenuto io sono molto simili a quelle che descrivono il moto di un pendolo tenuto conto degli attriti (esponenziali e robe varie)
 ....
 
 salut
 jack202 alias Krillin alias Kornholio alias BucoDellOzono

Il fatto è che:
 F(attr)=kv2
 
 si ha F=kv \"per corpi piccoli, come particelle di polvere in caduta libera nell\'aria e per velocità di alcuni cm/s, come nella caduta libera di corpi in liquidi viscosi\" (regime laminare)
 
 è invece F=kv2 \"per corpi di dimensioni non molto piccole, come gocce di pioggia aventi il raggio di alcuni mm e per velocità di alcuni m/s\" (regime turbolento)
 
 Tschüss <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Beh, non e\' che io in Fisica sia mai stato granche\', pero\' mi pare di ricordare che ha ragione Lucio: per oggetti della grandezza del volano in genere i fisici usano forze di attrito del tipo -kv^2...

Se qualcuno mi risolve il sistema differenziale <pre>
 
 / f \'(t)=k*f (t)
 \\ f (0)=1
 
 </pre> 
 Al resto ci penso io.

...ops... . rettifico : <pre>
 / f \' (t) = k * [ f(t) ]²
 \\ f (0) = 1
 </pre>

sia dato il sistema:
 f\'(t) = k[f(t)]^2
 f(0) = 1
 
 dividiamo ambi i membri della prima equazione per f(t)^2, ponendo f(t) != 0
 f\'(t) / f(t)^2 = k
 integriamo:
 § f\'(t) / f(t)^2 dt = § k dt
 -1 / f(t) = kt + h
 
 e via di seguito...

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