OliForum Matematico

Il punto A) così a risolver provo:
Il passo base dell'induzione nostra
Vuol $n=2$, e questo non v'è nuovo.
Vediamo ora come si dimostra:

La tesi è la seguente: vi sono
Numeri $a$ e $b$ interi positivi
Tali che un su $a$, numero buono,
Più un su $b$, o voi lettori vivi,

Più un su $ab$, dia senz'altro uno.
Mi scuso s'ora il registro abbassa
L'autore, m'ei${}^2$ pensa che nessuno,
Andando in rima, dimostrar possa.

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{b+a+1}{ab}=1$
$b+a+1=ab$
$b+a-ab+1=0$
$a\left( 1-b\right)+b-1=-2$
$\left( 1-b\right)\left( a-1\right)=-2$
$a=2\wedge b=3$ oppure $a=3\wedge b=2$
Quindi, per $n=2$ la tesi è dimostrata.

Passo induttivo:
L'ipotesi induttiva è la seguente:
$\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{d_i}}+\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}=1$
Per dimostrare la tesi è sufficiente dimostrare ch'esiste un intero positivo $\alpha$ tale che:
$\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}=\dfrac{1}{\alpha\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}+\dfrac{1}{\alpha}$
$1=\dfrac{1+\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}{\alpha}$
$\alpha=1+\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}$, accettabile, quindi la tesi è dimostrata.

Punto B:

Se la tesi m'è chiara, bisogna in soldoni determinare qual è il minimo che $d_1$, supposto wlog minore o uguale d'ogni altro $d_i$, che si possa raggiungere, in funzione di $n$. Per come abbiamo dimostrato il punto A) s'evince ch'è sempre possibile che $d_1$ sia uguale a $2$, mentre $1$ non può essere perché altrimenti l'uomo $1$ prenderebbe tutta la torta e gl'altri nulla. Quindi, è $2$.

Nota:
Non ho considerato il caso $n=1$ perché mi sembrava un po' strano, ma comunque funziona solo con $d_1=2$.

Fors'un giorno proverò a trasporre tutto questo in versi.