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Se sapessi che
\[\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}-\frac{p_i}{q_i}=\frac1{q_iq_{i+1}}\]
cosa avrei di bello?

In tale caso potrei riscrivere
\[p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}=1.\]

La tesi è equivalente a
\[p_{i-1}q_i-p_iq_{i-1}=p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}.\]

Come faccio a dimostrare il "lemma"? Cosa so di
\[\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}-\frac{p_i}{q_i}?\]

Di sicuro so che si scrive come
\[\frac{k}{q_iq_{i+1}}\]
per qualche $1\le k\le q_iq_{i+1}$.

E adesso boh, non è la soluzione totale quindi non spoilero più nulla.

Lemma: Presi $\frac{p_i}{q_i}$ e $\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$ due elementi consecutivi nella sequenza di Farey considerata, $p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}=1$.
Dimostrazione
Assegniamo a $\frac{p_i}{q_i}$ il punto $A_i=(q_i,p_i)$ per ogni $i$ .Naturalmente questi punti sono tutti a 2 a 2 distinti.
Prendiamo le rette del tipo $y=\frac{p_i}{q_i}x$, cioè quelle a cui appartengono gli $A_i$ e passanti per l'origine: essendo $\frac{p_i}{q_i}<\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$ per ogni $0\leq i<k$, sicuramente troveremo i punti $A_0,A_1,\ldots,A_k$ in ordine, se alla retta $y=mx$ facciamo variare $m$ imponendogli i valori da 0 a 1 (in senso antiorario li troviamo, insomma).
Ora, detta $O$ l'origine degli assi, consideriamo il triangolo $\triangle OA_iA_{i+1}$ per arrivare a dimostrare che ha area $\frac{1}{2}$.
Nei suoi lati non ci sono punti a coordinate intere:

• - in $OA_i$ e $OA_{i+1}$ è assurdo che ci siano per come abbiamo preso $A_i$ e $A_{i+1}$ perché le rette hanno equazione $y=\frac{p_i}{q_i}x$ e $y=\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}x$ e i coefficienti angolari sono ridotti ai minimi termini per ipotesi;
  - nel lato $A_iA_{i+1}$ non ce ne sono perché se ce ne fosse almeno uno, allora questo avrebbe ascissa $a$ con $q_i<a<q_{i+1}$ (oppure $q_{i+1}<a<q_i$, ma non ci cambia nulla) ed ordinata $b$ e sicuramente $\frac{b}{a}$ è minore di 1 e ha $a<n$.
  Se $\gcd(a,b)=1$ allora questo punto dovrebbe identificare un elemento della successione pure lui, ma questo è assurdo perché abbiamo detto che andando da $A_i$ ad $A_{i+1}$ in senso antiorario non ci sono altri punti della successione.
  Se $\gcd(a,b)>1$ allora la frazione $\frac{b}{a}$, dopo essere stata ridotta ai minimi termini, è un elemento della successione, quindi definiamo $A_j$ il punto che lo identifica nel piano; alla luce di questo il punto di coordinate $(a,b)$ sta sulla retta $OA_j$, che a sua volta sta tra $OA_i$ e $OA_{i+1}$, assurdo per come abbiamo preso $A_i$ e $A_{i+1}$!

Inoltre all'interno del nostro triangolo non ci sono punti a coordinate intere, per lo stesso motivo esposto appena sopra.
Dunque per Pick $S_{OA_iA_{i+1}}=\frac{1}{2}$.
Consideriamo ora i vettori $\vec{v}=\vec{OA_i}$ e $\vec{w}=\vec{OA_{i+1}}$.
Si ha che $\vec{v}\times\vec{w}=p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}$, ed essendo il prodotto vettoriale l'area del parallelogramma che ha due lati in $\vec{v}$ e $\vec{w}$,che a sua volta è pari a $2S_{OA_iA_{i+1}}=1$, allora otteniamo che $2S_{OA_iA_{i+1}}=p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}$, e questo implica che $p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}=1$, ovvero la tesi del nostro lemma.


Ritorniamo ora al problema e consideriamo $\frac{p_{i-1}}{q_{i-1}},\frac{p_i}{q_i},\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$.
Per il lemma valgono
$$p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}=1 \hspace{1.5cm} p_iq_{i-1}-p_{i-1}q_i=1$$
da cui $p_{i+1}q_i-p_iq_{i+1}=p_iq_{i-1}-p_{i-1}q_i$. Riscrivendo,
$$p_i(q_{i-1}+q_{i+1})=q_i(p_{i-1}+p_{i+1})$$
e dividendo entrambi i membri per $q_i(q_{i-1}+q_{i+1})$ che tanto è diverso da 0 otteniamo proprio la tesi del problema.