OliForum Matematico

Sia $ABC$ un triangolo con ortocentro $H$, e sia $M$ il punto medio di $BC$. Siano $P$ e $Q$ due punti distinti sulla circonferenza di diametro $AH$, diversi da $A$, tali che $M$ giace sulla retta $PQ$. Dimostrare che l'ortocentro di $APQ$ giace sulla circonferenza circoscritta ad $ABC$.

Detto $S$ il punto medio di $PQ$, l'ortocentro di $APQ$ è il simmetrico di $H$ rispetto a $S$, il che significa che $H(APQ) \in \odot ABC$ iff $S$ sta sulla Feuerbach. E questo è vero perché, detto $N$ il punto medio di $AH$, $MN$ è diametro (della Feuerbach) e $NSM = 90^{\circ}$ dato che $N$ è il centro di $\odot APQ$.

In gara ho provato per circa un'ora e mezza inversioni assurde, poi sono passato al 3, e dopo un'ora a vuoto sono tornato qui e ho avuto subito l'idea giusta, ma poi per concludere invece di notare che $MN$ è diametro mi sono messo a dimostrare che $MH_B$ e $MH_C$ tangono $\odot APQ$