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Siano $a$, $b$ e $c$ reali positivi tali che $a+b+c=1$. Dimostrare che
\[9abc+1\ge 4(ab+bc+ca).\]

Sfruttiamo il vincolo per omogenizzare e riscriviamo come
$$9abc+(a+b+c)^3 \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Sviluppando e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo
$$ [3,0,0]+4[1,1,1]+6[2,1,0] \ge 8[2,1,0]+3[1,1,1]$$
Ci resta quindi
$$[3,0,0]+[1,1,1]\ge 2[2,1,0]$$
Che è vero per Schur