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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
<BR>Una mosca giace stecchita su un pavimento quadrato di un metro di lato. Un ragno (ubriaco?) che sta da qualche parte sullo stesso pavimento, l\'ha avvistata e vuole mangiarsela. A questo scopo, per raggiungerla, si muove puntando sempre uno degli angoli del pavimento e percorrendo la meta\' della distanza dalla sua posizione fino all\'angolo scelto. Provare che il ragno puo\', con una opportuna scelta degli angoli ad ogni tratto, trovarsi ameno di un cm dalla mosca dopo 8 tratti.
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<BR>PS
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<BR>Del problema c\'e\' una soluzione molto bella(non mia).
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Antimateria
Che simpaticoni, \'sti Cinesi...
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<BR>Dunque dunque, ad ogni passo il ragno può scegliere tra 4 direzioni e, fissato un punto di partenza, al passo successivo potrà trovarsi in uno dei vertici di un quadrato di lato 1/2 contenuto interamente nel pavimento.
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<BR>Dopo il secondo passo potrà quindi trovarsi in uno dei 16 punti di un quadrato di lato 3/4, disposti al suo interno secondo una \"griglia regolare\". Infatti, ognuno dei 4 punti di partenza viene mandato nei 4 vertici di un quadrato di lato 1/2, e due punti adiacenti mandano in due quadrati traslati verticalmente o orizzontalmente di 1/4 (per il teorema di Talete).
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<BR>Sempre a colpi di teorema di Talete, si dimostra facilmente per induzione che dopo l\'n-esimo passo il ragno può trovarsi in uno qualunque dei vertici di una griglia di (2<sup>n</sup>-1)<sup>2</sup> quadratini di lato 1/2<sup>n</sup>, formanti complessivamente un quadrato di lato 1-1/2<sup>n</sup>, interamente contenuto nel pavimento.
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<BR>Ora è facile trarre le conclusioni: dopo l\'8° passo il ragnazzo si troverà da qualche parte in un quadrato di lato 1-1/256. Se anche la mosca si trova lì dentro, la sua distanza dal \"nodo\" della griglia più vicino è massima quando si trova nel centro di un quadratino. In tal caso, la distanza minima è Sqrt(2)/512 (perchè un quadratino ha lato 1/256), che è minore di 0,01. Se la mosca si trova fuori dalla griglia, il caso peggiore è evidentemente quello in cui la mosca è in un vertice del pavimento e la griglia tocca il vertice opposto (ossia, il ragno parte dal vertice opposto). Ma anche qui, la distanza minima da un \"nodo\" è Sqrt(2)/256, che è minore di 0,01.
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<BR>In ogni caso esiste quindi un percorso di 8 tratti che porta il ragno in un punto (dell\'8^ griglia) che dista dalla mosca meno di 0,01.
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<BR>Notare che con più di 8 tratti il ragno ce la fa a maggior ragione, perchè la griglia è più grande e più fitta, e con meno di 8 tratti esistono casi in cui non ce la fa. Ad esempio, se il ragno e la mosca sono in due vertici opposti del pavimento, dopo 7 tratti il ragno può trovarsi a una distanza dalla mosca non inferiore a Sqrt(2)/128, che è maggiore di 0,01.[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da psion_metacreativo
qual\'è la soluzione molto bella?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Cosa vuoi dire che la soluzione proposta da antimateria non e\' sufficientemente bella? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
La soluzione \"carina\" richiede di immaginare la mosca viva.