OliForum Matematico

Mostrare che il prodotto di un numero di due cifre per il suo \"simmetrico\" (per esempio 57 e 75) non può essere un quadrato perfetto, tranne nel caso banale in cui i due numeri siano uguali.

(10a+b)(10b+a)
<BR>
<BR>10a^2+101ab+10b^2
<BR>
<BR>che non è un quadrato perfetto ^__^
<BR>
<BR>ciao!
<BR>andrea[addsig]

Ovviamente stai scherzando...

Lemma A
<BR>---------
<BR>Notiamo che un quadrato perfetto, diviso per
<BR>11, puo dare come resto solo i numeri
<BR>
<BR>{0,1,3,4,5,9}
<BR>
<BR>dunque la somma di due quadrati perfetti è divisibile per 11 solo se ambedue gli addendi di partenza sono multipli di 11.
<BR>---------------------------------------
<BR>
<BR>I due numeri possono essere espressi
<BR>nelle forme
<BR>
<BR>x = 11a + b
<BR>y = 11a + 10b
<BR>
<BR>con 1<=b<=8
<BR>
<BR>dunque il loro prodotto è
<BR>
<BR>121a^2 + 121ab + 10b^2
<BR>
<BR>ponendo che sia il quadrato di c otteniamo
<BR>
<BR>11(11a^2+11ab+b^2) = b^2 + c^2
<BR>
<BR>dunque 11 divide (b^2 + c^2) , dunque
<BR>b vale necessariamente 0 come volevasi
<BR>dimostrare. Ciauuuzz !!!
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

Non tutti i quadrati perfetti sono quadrati algebrici!
<BR>Ad esempio a^2+3ab+b^2 è un quadrato perfetto per a=7 e b=3
<BR>Alla prossima...

Su quello che hai detto non ci piove, ma se
<BR>
<BR>xy dev\'essere un quadrato
<BR>
<BR>xy è uguale a a^2+1768ab+3b^2
<BR>
<BR>allora
<BR>
<BR>a^2+1768ab+3b^2 dev\'essere un quadrato
<BR>
<BR>e dunque
<BR>
<BR>deve esistere un c tale che
<BR>
<BR>a^2+1768ab+3b^2 = c^2
<BR>
<BR>non mi sembra di aver violato alcunchè...
<BR>
<BR>
<BR>

La tua soluzione è impeccabile, jack...
<BR>La mia risposta era per ReKaio.
<BR>Ciao!!!!!