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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
ABC is an acute-angled scalene triangle with incenter I and orthocenter H.
<BR>The circumcenter of BHC is O.
<BR>Show that A, I and O are collinear if and only < A=60°.
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 29-01-2004 16:13 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Siano B\',C\' i piedi delle altezze del triangolo ABC ,relative rispettivamente ai lati AC ed AB;siano inltre M ed N le proiezioni ortogonali di O su AB ed AC.
<BR>Risulta :
<BR>C\'HB\'=BHC=180°-BAC
<BR>BOC(concavo)=2*BHC=360°-2*BAC
<BR>BOC(convesso)=360°-BOC(concavo)=2*BAC
<BR>Cio\' posto,dobbiamo dimostrare le due implicazioni(semplici):
<BR>1°:se BAC=60°--->AO e\' bisettrice di BAC (questo implica che I sta su AO)
<BR>2°:viceversa.
<BR>Cominciamo con la 1°.
<BR>In tal caso e\':
<BR>ABC+ACB=120°; BOC(convesso)=120°;CBO=BCO=30°.
<BR>Osserviamo ora che ABC e ACB non possono essere uguali;supponiano
<BR>allora ABC<60° e quindi ACB>60° ( se fosse il contrario si scambierebbe B con C):questo significa che M e\' interno al lato AB mentre N e\' sul prolungamento di AC dalla parte di C.
<BR>Ora si ha:
<BR>MBO=ABC+30°
<BR>NCO=180-(ACB+30°)=180°-(120°-ABC+30°)=ABC+30°
<BR>Ne segue che i triangoli rettangoli BMO e CNO sono uguali e cio\'
<BR>comporta OM=ON (cioe\' AO e\' bisettrice).
<BR>Affrontiamo la 2°
<BR>Conserviamo le medesime notazioni.
<BR>In questi caso e\':
<BR>OM=ON;anche in questo caso M ed N non possono essere entrambi interni
<BR>ad AB ed AC (rispettivamente).Infatti se cio\' accadesse ,essendo i triangoli
<BR>rettangoli BMO e CNO uguali , ne seguirebbe l\'eguaglianza degli angoli
<BR>OBM ed OCN;ma poiche\' sono uguali anche gli angoli OBC e OCB
<BR>risulterebbero uguali anche gli angoli ABC e ACB contro l\'ipotesi.
<BR>Supponiamo allora ,come prima, M interno ad AB (ed N esterno ad AC).
<BR>Di seguito risulta:
<BR>MBO=OCN ovvero
<BR>ABC+CBO=180°-ACB-BCO da cui
<BR>2*BCO=180°-ABC-ACB ovvero
<BR>2*BCO=BAC
<BR>Ora dal triangolo BOC si ha:
<BR>(a ) 2*BCO+BOC(convesso)=180°. Ma ,come si e\' detto all\'inizio,e\'
<BR>BOC(convesso)=2*BAC e qundi sostituendo il tutto nella (a):
<BR>BAC+2*BAC=180°
<BR>Da cui :BAC=60°
<BR>C.D.D. (salvo errori).