Sia $A_n \subset \mathbb{R}^n$. Per ogni $u, v \in A_n$ sappiamo che la distanza $d(u,v)$ è costante.
Qual è la cardinalità massima di $A_n$?
Questo è un risultato noto? Nel caso, come è la dimostrazione?
vettori equidistanti
Re: vettori equidistanti
Di $\mathbb{R}^n$ non so molto, quindi potrei benissimo dire cavolate.
Voglio dimostrare che, detta $f(n)$ la quantità voluta, $f(n)=n+1$.
$f(n) \geq n+1$ perchè riesco a costruire un politopo regolare che soddisfa: per $n=1$ ho due punti (passo base). Suppongo che in $\mathbb{R}^n$ i vettori siano sull'equivalente di una sfera in $n$ dimensioni (per come li costruisco). Sia perciò $O$ il centro di tale (iper)sfera (e l'origine degli assi) e $y$ la proiezione dell'$n+1$-esimo vettore su $\mathbb{R}^n$, allora $y \equiv O$ perchè altrimenti l'$n+1$-esimo vettore non avrebbe la stessa distanza dagli altri $n$ (sono su un'ipersfera e quindi hanno lo stesso modulo). Ho quindi un politopo che soddisfa in $\mathbb{R}^{n+1}$ prendendo uno dei due vettori sull'asse (non entrambi perchè altrimenti la distanza tra i due sarebbe maggiore rispetto a tutte le altre coppie).
D'altra parte non esistono altre configurazioni perchè, ammettendo che gli $n$ vettori non abbiano circocentro, proiettando l'$n+1$-esimo su $\mathbb{R}^n$ non potremmo mai avere che le distanze tra l'$n+1$-esimo vettore e gli altri $n$ siano uguali (un cateto in comune e gli altri diversi).
Voglio dimostrare che, detta $f(n)$ la quantità voluta, $f(n)=n+1$.
$f(n) \geq n+1$ perchè riesco a costruire un politopo regolare che soddisfa: per $n=1$ ho due punti (passo base). Suppongo che in $\mathbb{R}^n$ i vettori siano sull'equivalente di una sfera in $n$ dimensioni (per come li costruisco). Sia perciò $O$ il centro di tale (iper)sfera (e l'origine degli assi) e $y$ la proiezione dell'$n+1$-esimo vettore su $\mathbb{R}^n$, allora $y \equiv O$ perchè altrimenti l'$n+1$-esimo vettore non avrebbe la stessa distanza dagli altri $n$ (sono su un'ipersfera e quindi hanno lo stesso modulo). Ho quindi un politopo che soddisfa in $\mathbb{R}^{n+1}$ prendendo uno dei due vettori sull'asse (non entrambi perchè altrimenti la distanza tra i due sarebbe maggiore rispetto a tutte le altre coppie).
D'altra parte non esistono altre configurazioni perchè, ammettendo che gli $n$ vettori non abbiano circocentro, proiettando l'$n+1$-esimo su $\mathbb{R}^n$ non potremmo mai avere che le distanze tra l'$n+1$-esimo vettore e gli altri $n$ siano uguali (un cateto in comune e gli altri diversi).
Re: vettori equidistanti
@matpro98: scusa, ma non capisco quasi nulla di quello che stai scrivendo.
cosa stai proiettando dove? e come? di chi è la proiezione $y$? non stai cercando di costruire $n+1$ vettori in $\mathbb R^n$?
un suggerimento generale: da' i nomi alle cose (nei limiti del ragionevole), e spiega meglio cosa stai facendo.
intuitivamente mi è chiaro cosa vuoi fare, ma giuro che da com'è scritto non capisco un'acca.
per inciso, questa si chiama sfera anche in dimensione alta. se proprio vuoi darle un nome (e vuoi farlo), chiamiamola $S^{n-1}$, e diciamo che è l'insieme dei vettori che stanno a distanza 1 dall'origine.matpro98 ha scritto: Suppongo che in $\mathbb{R}^n$ i vettori siano sull'equivalente di una sfera in $n$ dimensioni (per come li costruisco).
eh?matpro98 ha scritto: Sia perciò $O$ il centro di tale (iper)sfera (e l'origine degli assi) e $y$ la proiezione dell'$n+1$-esimo vettore su $\mathbb{R}^n$, allora $y \equiv O$ perchè altrimenti l'$n+1$-esimo vettore non avrebbe la stessa distanza dagli altri $n$ (sono su un'ipersfera e quindi hanno lo stesso modulo).
cosa stai proiettando dove? e come? di chi è la proiezione $y$? non stai cercando di costruire $n+1$ vettori in $\mathbb R^n$?
ehm. chi ti dice che l'altezza del simplesso regolare (sì, quello che stai costruendo si può chiamare $n$-simplesso) non può essere esattamente metà del lato? se così fosse, i due vettori sull'asse avrebbero la distanza voluta, e quindi potresti metterceli tutti e due. io ho dovuto fare il conto per convincermene (ma ci sta che ci sia una dimostrazione più ovvia).matpro98 ha scritto: Ho quindi un politopo che soddisfa in $\mathbb{R}^{n+1}$ prendendo uno dei due vettori sull'asse (non entrambi perchè altrimenti la distanza tra i due sarebbe maggiore rispetto a tutte le altre coppie).
anche qui: chi stai proiettando dove? chi ti garantisce che le proiezioni preservino le distanze? (per inciso, non lo fanno.)matpro98 ha scritto: D'altra parte non esistono altre configurazioni perchè, ammettendo che gli $n$ vettori non abbiano circocentro, proiettando l'$n+1$-esimo su $\mathbb{R}^n$ non potremmo mai avere che le distanze tra l'$n+1$-esimo vettore e gli altri $n$ siano uguali (un cateto in comune e gli altri diversi).
un suggerimento generale: da' i nomi alle cose (nei limiti del ragionevole), e spiega meglio cosa stai facendo.
intuitivamente mi è chiaro cosa vuoi fare, ma giuro che da com'è scritto non capisco un'acca.
Re: vettori equidistanti
Concordo sul fatto che è scritto male, mi scuso.
Questo non saprei comunque dimostrarlo, quindi: tentativo fallito. Grazie comunque delle precisazioni!ma_go ha scritto:chi ti dice che l'altezza del simplesso regolare (sì, quello che stai costruendo si può chiamare nn-simplesso) non può essere esattamente metà del lato?
Re: vettori equidistanti
nota che non sto dicendo che la strategia fosse sbagliata, eh...
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Re: vettori equidistanti
si dicono equipollenti