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Con x,y numeri naturali, risolvere l\'equazione:
<BR> 2^x-3^y=7.
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<BR>ciao
<BR>sprmnt21
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<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: sprmnt21 on 2002-01-15 14:54 ]</font>

Che belli i problemi con le congruenze!
<BR>x=4
<BR>y=2
<BR>Analizzando l’espressione modulo 4 otteniamo che 3^y deve essere congruente a 1, quindi y è pari.
<BR>Analizzando modulo 3 otteniamo che 2^x deve essere congruente a 1, quindi x è pari.
<BR>Ponendo x=2X e y=2Y
<BR>2^2X-3^2Y=7
<BR>Scomponendo la differenza di quadrati abbiamo:
<BR>(2^X+3^Y)(2^X-3^Y)=7
<BR>7 è numero primo, quindi l’unica possibilità è che:
<BR>2^X-3^Y=1
<BR>2^X+3^Y=7
<BR>Da cui 2^X=4 e 3^Y=3, quindi X=2 e Y=1, quindi 2^4=7+3^2 è l’unica soluzione.
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>

ma la soluzione x=3, y=0 non e\' buona?
<BR>
<BR>Lo 0 (non me lo ricordo mai) e\' un naturale o no?
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<BR>francesco puoi dare in dettaglio i motivi per cui sia x che y devono essere pari.
<BR>
<BR>
<BR>ciao
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<BR>sprmnt21
<BR>

Ovviamente sono stato troppo precipitoso, la soluzione x=3 y=0 è corretta, e lo zero è un naturale (assiomi di Peano).
<BR>
<BR>x deve essere pari perché se 2^x=7+3^y
<BR>(2^x)mod3=1+(3^y)mod3
<BR>(2^x)mod3=1
<BR>Per il piccolo teorema di Fermat tutti i quadrati sono congruenti a 2 modulo 3, a meno che non siano quadrati di un multiplo di 3.
<BR>
<BR>y deve essere pari, perché se 3^y=2^x-7
<BR>3^y mod 4=2^x mod 4 –3
<BR>3^y mod 4=1
<BR>Per la generalizzazione data da Eulero del teorema di Fermat ai numeri composti, tutti i quadrati di numeri dispari sono congruenti a 1 modulo 4.
<BR>In questo ultimo passaggio abbiamo posto 2^x multiplo di 4, che è vero per x>1, quindi i casi x=0 e x=1 devono essere esaminati singolarmente, e si verifica facilmente che non sono soluzioni.
<BR>
<BR>La soluzione mancante viene dal fatto che ho considerato 3^y come se fosse sempre multiplo di 3, che non è vero per y=0; anche questo caso avrebbe dovuto essere esaminato a parte, per trovare l’altra soluzione.
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>