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la soluzione è $8975$

quand'è che $p(x)q(x)$ ha esattamente un coefficiente dispari?

* come dicono gli hint, devi trovare tutte le coppie di polinomi che hanno esattamente un coefficiente dispari ognuno.
* facciamo finta di dover contare le coppie *ordinate* di polinomi $(p,q)$, che è un problema più facile.
* possiamo limitarci a contare solo le coppie che hanno i coefficienti dispari in prima posizione; poi per ottenere tutte le soluzioni basta moltiplicare per 25.
* per le condizioni di positività e parità, possiamo scrivere il primo coefficiente è $1+2k_1$, gli altri sono $2+2k_2, 2+2k_3, 2+2k_4, 2+2k_5$, e lo stesso per il secondo polinomio.
* la condizione che i coefficienti sommano a 26 quindi diventa $k_1 + k_2 + \dots + k_{10} = 4$.
* quindi, se le coppie fossero ordinate ci saremmo ridotti a contare le 10-uple ordinate di interi non-negativi che sommano a 4, che è un problema classico di combinatoria (tecnica "stars and bars", o "palle e divisori"). Viene $\binom{4+10-1}{4} = 715$. Quindi il problema originale (con coppie *ordinate*) avrebbe soluzione 17875.
* ora verrebbe da pensare che visto che le coppie che dobbiamo contare non sono ordinate, dovremo dividere per 2: ogni coppia non ordinata $\{p,q\}$ diventa due coppie ordinate $(p,q)$ e $(q,p)$. Ma c'è un problema (e ce ne accorgiamo anche perché 17875 è dispari!): se $p=q$, la coppia non ordinata diventa solo una coppia ordinata.
* Ora per saper descrivere tutta la situazione l'ultimo pezzo che ci manca è capire quante sono le soluzioni con $p=q$. Questo equivale a contare le 5-uple ordinate di interi non-negativi che sommano a 2, cioè $\binom{2+5-1}{2} = 15$. Quindi, tenendo conto anche dei possibili posti diversi in cui può andare il coefficiente dispari, abbiamo $15\cdot 5 = 75$ coppie della forma $\{p,p\}$.
* le coppie $\{p,q\}$ con $p\neq q$ allora sono (17875 - 75) / 2 = 8900. A queste vanno sommate le 75 coppie della forma $\{p,p\}$.