OliForum Matematico

1) dimostrare che
<BR>
<BR>n=(a²+a)/2 + (b²+b)/2 per qualche a, b in N
<BR>
<BR><==>
<BR>
<BR>4n+1=x² + y² per qualche x, y in N
<BR>
<BR>2) scrivere in forma chiusa la somma
<BR>
<BR>sum[k=0->+inf](-1)^k*(k+1)*r^k*cos[k*a]=1-2*r*cos[a]+3*r²*cos[2a]-... per |r|<1
<BR>
<BR>3) dimostrare che il reciproco di ogni numero naturale >1 può essere scritto come somma di un numero finito di termini consecutivi della serie
<BR>
<BR>sum[k=1->+inf]1/k(k+1)

2) Consideriamo la serie geometrica: sum[k=0...+inf] [q(x)]^k di ragione
<BR>q(x) := -re^jx, con j := sqrt(-1). Osserviamo che |q(x)| = |r| < 1, per ipotesi, perciocché la serie è convergente per ogni x€R, con somma s(x) := 1/[1-q(x)]. Del resto, è facile dimostrare (certo, serve qualche teorema di Analisi...) che la serie è pure derivabile termine a termine (in senso complesso) per ogni x€R, onde ottenere che:
<BR>
<BR>s\'(x) = sum[k=1...+inf] k*[q(x)]^k-1*q\'(x)
<BR>
<BR>da cui, operando opportunamente sull\'indice di sommatoria e separando il reale dall\'immaginario ad ambo i membri, si ottiene infine il risultato voluto... che tuttavia mi scoccio di ricavare esplicitamente!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>P.S.: ah, ovviamente... x --> a!!!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-02-2004 19:28 ]

ottimo, ora però fai anche i conti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>voglio controllare se alla fine ci viene la stessa cosa

3) Diciamo {s(n)} la successione delle somme parziali n-esime della serie sum[k=1...+inf] 1/[k(k+1)]. Poiché, per ogni k€N₀: 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1), la serie anzidetta è telescopica, e dunque: s(n) = 1 - 1/(n+1), qual che sia n€N₀. Basta allora dimostrare che, comunque fissato un m€N, con
<BR>m > 1, l\'equazione: 1 - 1/(n+1) = 1/m ammette soluzione per n intero > 0...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-02-2004 19:44 ]

...il che è palesemente falso... a meno che non sia m = 2 ed n = 1.
<BR>
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

Ouch... aspetta!!! Forse ho capito!!! Ho fatto un\'assunzione di cui la traccia non riferisce alcunché!!! Difatti, è detto che i termini debbano essere consecutivi, ma questo non significa che si debba iniziare a contarli da 1 fino ad n...
<BR>
<BR>Ok, quindi il problema si riconduce a dimostrare che, per ogni m€N, con m > 1, esistono due altri interi positivi q > n > 0 tali che: 1/(n+1)-1/(q+1) = 1/m. Ovvero, in ultima analisi, a provare che l\'equazione:
<BR>
<BR><center>1/r - 1/s = 1/m, con m > 1</center>
<BR>è sempre risolvibile per r,s€N tali che: s > r > 1. <!-- BBCode Start --><I>Peto veniam...</I><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-02-2004 20:03 ]

1) 4n+1 = a²+b²+2a+2b+1+a²+b² = (a+b+1)²+(a-b)²
<BR>
<BR>per il terzo, per m pari dovrebbe esser facile... per m dispari un po\' meno... boh, ci devo pensare.

1/m = 1/(m-1) - 1/(m²-m)

Dimostrate che per ogni n,d in N esistono a_i interi tali che
<BR>
<BR>n=a₁[da₁-(d-2)]/2 + a₂[da₂-(d-2)]/2 + ... + a_d+1[da_d+1-(d-2)]/2
<BR>
<BR>(tornato alla luce guardando il problema 1)
<BR>
<BR>[corretto] chiedo scusa, i d-1 erano d+1 (complimenti a mago per il sano e divertente sarcasmo, si vede che è nervoso)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 11-02-2004 17:02 ]

per d=1 e d=2 mi pare palesemente falso.
<BR>e fino a prova contraria {1,2} C N

ok per il terzo
<BR>
<BR>euler, mi sommi quella somma o no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>(sei sicuro che serva quella q\'(x) nella derivata della sommatoria? se non ci fosse sarebbe meglio..)

Uffa, Talpuz!!! Certo che sei uno stress, sai...? ghghgh!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Soluzione 3)</B><!-- BBCode End -->: ok, e allora... uhm... osserviamo innanzitutto che:
<BR>
<BR>s\'(x) := d/dx (1/[1-q(x)]) = -q\'(x)/[1-q(x)]²
<BR>
<BR>sicché (dalla relazione che ho indicato nel precedente intervento):
<BR>
<BR>-q\'(x)/[1-q(x)]² = q\'(x)*sum[k=1...+inf] k*[q(x)]^k-1
<BR>
<BR>E poiché q\'(x) != 0, per ogni x€R, aggiornando l\'indice di sommazione da k in k+1, ne fa ulteriormente seguito che:
<BR>
<BR>-1/[1-q(x)]² = sum[k=0...+inf] (k+1)*[q(x)]^k
<BR>
<BR>da cui il risultato, pur di separare il reale dall\'immaginario, considerando che, dalle formule di Eulero: e^j*t = cos(t)+j*sin(t), per ogni t€R, ove (al solito) si è posto j := sqrt(-1). Adesso, però, questo conto te lo fai TU!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 11-02-2004 20:11 ]