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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Calcolare,senza ricorrere a regole di derivazione,il seguente limite:
<BR>lim([ln(e+1/x)]^x)
<BR>x-->+inf
<BR>(e=base dei log. naturali).
<BR>
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da euler_25
Uhm... facciamo così:
<BR>
<BR>lim<sub>x-->+inf</sub> [ln(e + 1/x)]<sup>x</sup> = lim<sub>x-->+inf</sub> [1 + ln(1 + 1/(ex))]<sup>x</sup> .......(*)
<BR>
<BR>donde, posto: t = ln(1 + 1/(ex)) e quindi x = (1/e)/(e<sup>t</sup> - 1), avendo osservato che t --> 0<sup>+</sup> per x --> +inf, ancor fa seguito che:
<BR>
<BR>(*) = lim<sub>t-->0+</sub> [1 + t]<sup>(1/e)/(e<sup>t</sup> - 1)</sup>
<BR>
<BR>da cui si vede facilmente che il limite richiesto vale e<sup>1/e</sup>.