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Problema i): dimostrare che, comunque assegnati n ≥ 2 interi x1, x2, ..., xn tutti distinti da zero:
 
 Dvr(x1, x2, ..., xn) = |P|/mlt(P/x1, P/x2, ..., P/xn)
 
 ove P rappresenta un qualsivoglia multiplo comune degli n interi assegnati e Dvr(-) ed mlt(-) indicano le funzioni che ad ogni k-upla di interi, con k ≥ 2, associano, rispettivamente, il loro massimo comun divisore e il loro minimo comune multiplo (a me piacciono più queste notazioni, dovute a Lebesgue, che non le più ordinarie MCD(-) ed mcm(-), ma voi altri usate quelle che più vi aggradano... ghghgh!!!)
 
 Problema ii): dimostrare che, comunque assegnati n ≥ 3 interi x1, x2, ..., xn:
 
 Dvr[x1, mlt(x2, ..., xn)] = mlt[Dvr(x1, x2), Dvr(x1, x3), ..., Dvr(x1, xn)]
 
 Problema iii): dimostrare che, comunque assegnati a,b,c€Z0:
 
 Dvr(a,b,c) = |abc|*mlt(a,b,c)/[mlt(a,b)*mlt(b,c)*mlt(c,a)]
 
 EDIT: soliti errori di battitura!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 11-02-2004 21:31 ]

Problema (i).
 Cominciamo con l\'osservare che:
 mlt(kx1,kx2,....,kxn)=k*mlt(x1,x2,...,xn).
 Da cio segue che ,se |P|=k*(x1*x2*...*xn),la relazione da dimostrare diventa:
 Dvr(x1, x2, ..., xn)=(x1*x2*...*xn)/mlt(x2*..xn,x1*x3*..*xn, .., x1*x2*...x(n-1)) .
 Iniziamo con due soli numeri:
 Dvr(x1,x2)=(x1*x2)/mlt(x2,x1)
 Sia M un multiplo comune di x1 e x2:
 M=x1*r;M=x2*s
 Poniamo ora:
 x1=y1*Dvr(x1,x2);x2=y2*Dvr(x1,x2).
 Quindi:
 M=y1*r*Dvr(x1,x2);M=y2*s*Dvr(x1,x2).
 N segue:
 y1*r=y2*s ,da cui r=c*y2 con c intero >=1.
 Dunque:
 M=x1*r=x1*c*y2;ma y2=x2/Dvr(x1,x2) e quindi:
 M=c*[(x1*x2)/Dvr(x1,x2)].
 Ora se prendiamo c=1 (cioe\' il valore minimo) si otterra\':
 mlt(x1,x2)=(x1*x2)/Dvr(x1,x2).
 Da qui la tesi:
 Dvr(x1,x2)=(x1*x2)/mlt(x1,x2).
 Bisogna ora procedere per induzione (standard!!),ma il procedimento non e\'
 compatibile con la mia pigrizia e lo lascio a qualcuno piu\' volenteroso.
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Ok, Karl! Lasciami soltanto il tempo di legger con più calma la tua dimostrazione (non ora, più tardi, magari). Ti farò sapere, d\'accordo? In ogni caso, l\'ho scorsa rapidamente e non mi par d\'avervi riscontrato (in sostanza) nulla di \"bacato\". Gli auspici mi sembrano propizi... adesso bisogna soltanto sperare di averne interpretato correttamente il senso... ciao! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 ---------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- -----------
 
 <center>Ibis redibis non morieris in bello</center>

Osserviamo innanzitutto che dati 3 numeri a,b,c € N allora:
 
 min(a,b,c)=a+b+c+max(a,b,c)-max(a,b)-max(a,c)-max(b,c)
 
 Dicendo med(a,b,c) il termine nè maggiore nè minore dei tre abbiamo che a+b+c=max(a,b,c)+min(a,b,c)+med(a,b,c) e sostituendo:
 
 max(a,b,c)+min(a,b,c)+med(a,b,c)+max(a,b,c)-max(a,b)-max(a,c)-max(b,c)=
 =2max(a,b,c)+med(a,b,c)+min(a,b,c)-max(a,b)-max(a,c)-max(b,c)=
 =med(a,b,c)+min(a,b,c)-max(med(a,b,c),min(a,b,c))=min(a,b,c)
 
 Ora si può risolvere il Problema iii).
 Scriviamo a come prodotto di potenze di primi (a=p1a1p2a2...pnan) e analogamente con b e c.
 scriviamo il MCD come prodotto di potenze minime e il mcm come prodotto di potenze massime quindi:
 MCD(a,b,c)=p1min(a1,b1,c1)p2min(a2,b2,c2)...pnmin(an,bn,cn)
 mcm(a,b,c)=p1max(a1,b1,c1)p2max(a2,b2,c2)...pnmax(an,bn,cn)
 
 Ora consideriamo le potenze di p1 nell\'espressione considerata:
 
 p1min(a1,b1,c1)=p1a1p1b1p1c1p1max(a1,b1,c1)/(p1max(a1,b1)p1max(a1,c1)p1max(b1,c1))
 
 Ma il secondo membro è uguale a
 p1min(a1,b1,c1)=p1(a1+b1+c1+max(a1,b1,c1)-max(a1,b1)-max(a1,c1)-max(b1,c1))
 
 Per le osservazioni fatte all\'inizio ciò è vero e fatto il raginamento con tutti gli altri pi la tesi è dimostrata.
 
 C.V.D.
 
 P.S.: Fa un po\' skifo \'sta dimostrazione però sempre meglio di niente...

propongo un\'altro problema simile:
 
 prendiamo una n-upla di naturali
 x1,...,xn
 e poniamo
 
 yi=prod[j=1,..,n; j=\\=i]xj
 
 e k=(prodxi)/MCD(x1,...,xn)
 
 è vero che k=MCD(y1,...,yn) ?

Ponendo P=x1*x2*...*xn,ho interpretato
 yi come P/xi.Se questo e\' giusto,allora la formula indicata
 da Talpuz sembra inesatta ma piuttosto corrisponderebbe al problema (i)
 e dunque k=mlt(y1,....,yn).

ok, forse era così
 
 k=(prodxi)/mcm(x1,...,xn)
 
 sorry <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 12-02-2004, 14:13, Karl wrote:
 
 Problema i): cominciamo con l\'osservare che:
 mlt(kx1,kx2,....,kxn)=k*mlt(x1,x2,...,xn).
 Da cio segue che, se |P| = k*(x1*x2*...*xn),la relazione da
 
 dimostrare diventa:
 Dvr(x1, x2, ..., xn)=(x1*x2*...*xn)/mlt(x2*..xn,x1*x3*..*xn, ..,
 
 x1*x2*...x(n-1)) .
 Iniziamo con due soli numeri:
 Dvr(x1,x2)=(x1*x2)/mlt(x2,x1)
 Sia M un multiplo comune di x1 e x2:
 M=x1*r;M=x2*s
 Poniamo ora:
 x1=y1*Dvr(x1,x2);x2=y2*Dvr(x1,x2).
 Quindi:
 M=y1*r*Dvr(x1,x2);M=y2*s*Dvr(x1,x2).
 N segue:
 y1*r=y2*s ,da cui r=c*y2 con c intero >=1.
 Dunque:
 M=x1*r=x1*c*y2;ma y2=x2/Dvr(x1,x2) e quindi:
 M=c*[(x1*x2)/Dvr(x1,x2)].
 Ora se prendiamo c=1 (cioe\' il valore minimo) si otterra\':
 mlt(x1,x2)=(x1*x2)/Dvr(x1,x2).
 Da qui la tesi:
 Dvr(x1,x2)=(x1*x2)/mlt(x1,x2).
 Bisogna ora procedere per induzione (standard!!)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ciao, Karl! Come promesso, anche se con un po\' di flemma, ho letto con maggiore attenzione la tua dimostrazione e beh... non ti nascondo che, nonostante lo stile mi sia molto piaciuto, per l\'eloquente finezza delle tue argomentazioni, v\'è ancora tuttavia qualche passaggio logico che sfugge parzialmente alla mia comprensione, e me ne scuso. Sicché ti chiedo... potresti spiegarmi cosa giustifica l\'assunzione per cui P, in quanto multiplo comune degli n > 1 interi x1, x2, ..., xn, dev\'esser nondimeno divisibile per il loro prodotto x1*x2*...*xn, sì come suggerisce la relazione P = k*(x1*x2*...*xn) da te indicata?
 
 P.S.: ti sarai accorto che ci hai messo un valore assoluto di troppo, vero? Sia ben chiaro... quest\'ultima è tanto per tener fede al personaggio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-02-2004 20:22 ]

Ciao, Simo! Perché parli così male della tua dimostrazione? Aaaaaah, ho capito... fingiamo modestia!!! Cmq, per quel che serve saperlo, personalmente l\'ho trovata alquanto chiccosa, tanto più che si presta bene ad una certa generalizzazione (certo, un po\' fine a se stessa) della formula indicata nella traccia del problema proposto, per cui... !!! Soltanto, volevo chiederti... mi spiegheresti a che diamine t\'è servito stabilir che:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Dicendo med(a,b,c) il termine nè maggiore nè minore dei tre abbiamo che
 
 a+b+c=max(a,b,c)+min(a,b,c)+med(a,b,c) e sostituendo:
 
 max(a,b,c)+min(a,b,c)+med(a,b,c)+max(a,b,c)-max(a,b)-max(a,c)-max(b,c)=2max(a,b,c)+med(a,b,c)+min(a,b,c)-max(a,b)-max(a,c)-max(b,c)=
 =med(a,b,c)+min(a,b,c)-max(med(a,b,c),min(a,b,c))=min(a,b,c)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Boh?!? E poi, un\'altra piccola osservazione... ché diversamente, come faccio a tenere alto il nome del mio nobile casato... la famosa dinastia dei rompiballe?!? Ecco, mi sbaglio... oppure, in relazione alla seguente \"catena d\'uguaglianze\":
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Ora consideriamo le potenze di p1 nell\'espressione considerata:
 
 p1min(a1,b1,c1)=p1a1p1b1p1c1p1max(a1,b1,c1)/(p1max(a1,b1)p1max(a1,c1)p1max(b1,c1))
 
 Ma il secondo membro è uguale a
 p1min(a1,b1,c1)=p1(a1+b1+c1+max(a1,b1,c1)-max(a1,b1)-max(a1,c1)-max(b1,c1))
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 te hai un po\' stravolto, così ad x (copyright by ing. Lollo), la logica consecutio delle tue deduzioni?!? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-02-2004 20:24 ]

Innanzitutto nn fingo modestia... Ho notato che la dim. era un po\' lunga ma il ragionamento che ho fatto era breve quindi ho pensato che ci voleva molto meno a dimostrarlo.
 Per le mie puntualizzazioni: le ho fatte casomai non mi fossi fatto capire prima. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Ringrazio Euler_25 per aver preso in considerazione la mia dimostrazione.
 Effettivamente mi sono reso conto di aver esaminato il caso particolare in cui il multiplo comune fosse proprio il prodotto dei numeri, cosa che naturalmente
 non rende generale la dimostrazione medesima.
 Saluti da karl.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

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