Dato un triangolo ABC indicare con H il piede dell\'altezza relativa ad AB. Tracciare la retta perpendicolare a BC in B e segnarci sopra D in modo tale che AH=BD. Tracciare analogamente la retta perpendicolare ad AC in A e segnarci sopra E in modo tale che BH=AE. dimostra che CDE è isoscele.
<BR>
<BR>P.S.: A sproposito, qualcuno mi potrebbe dire come si fa a dimostrare che le 3 altezze di un triangolo concorrono in uno stesso punto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
Geometria...simple!
Moderatore: tutor
Si tratta in sostanza di dimostrare che
<BR>
<BR>CE^2 = CD^2
<BR>CA^2 + HB^2 = CB^2 + AH^2
<BR>CA^2 - AH^2 = CB^2 - HB^2 = CH^2 vero.
<BR>
<BR>Per l\'unicità dell\'ortocentro c\'è una bella dimostrazione
<BR>algebrica. Chiamo H il piede dell\'altezza per C, J il
<BR>piede dell\'altezza per A e Z l\'intersezione di AJ e CH.
<BR>Con <(v),(w)> indico il prodotto scalare dei vettori v e w.
<BR>
<BR>Ho che
<BR><(C-Z),(A-B)> = 0
<BR><(A-Z),(B-C)> = 0
<BR>
<BR>addizionando queste due identità ottengo
<BR><(B-Z),(A-C)> = 0
<BR>
<BR>l\'altezza per B passa dunque per Z e questo basta a concludere
<BR>che le tre altezze concorrono in un punto. In alternativa si può
<BR>utilizzare Ceva oppure la solita costruzione geometrica:
<BR>
<BR>Prendo A\' in modo che CA\' // AB e CA\'=AB
<BR>Prendo B\' in modo che AB\' // BC e AB\'=BC
<BR>Prendo C\' in modo che BC\' // CA e BC\'=CA
<BR>
<BR>A questo punto le altezze di ABC saranno gli assi di A\'B\'C\'
<BR>e ci siamo ricondotti a dimostrare l\'unicità del circocentro
<BR>che è abbastanza trivial.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 13-02-2004 10:37 ]
<BR>
<BR>CE^2 = CD^2
<BR>CA^2 + HB^2 = CB^2 + AH^2
<BR>CA^2 - AH^2 = CB^2 - HB^2 = CH^2 vero.
<BR>
<BR>Per l\'unicità dell\'ortocentro c\'è una bella dimostrazione
<BR>algebrica. Chiamo H il piede dell\'altezza per C, J il
<BR>piede dell\'altezza per A e Z l\'intersezione di AJ e CH.
<BR>Con <(v),(w)> indico il prodotto scalare dei vettori v e w.
<BR>
<BR>Ho che
<BR><(C-Z),(A-B)> = 0
<BR><(A-Z),(B-C)> = 0
<BR>
<BR>addizionando queste due identità ottengo
<BR><(B-Z),(A-C)> = 0
<BR>
<BR>l\'altezza per B passa dunque per Z e questo basta a concludere
<BR>che le tre altezze concorrono in un punto. In alternativa si può
<BR>utilizzare Ceva oppure la solita costruzione geometrica:
<BR>
<BR>Prendo A\' in modo che CA\' // AB e CA\'=AB
<BR>Prendo B\' in modo che AB\' // BC e AB\'=BC
<BR>Prendo C\' in modo che BC\' // CA e BC\'=CA
<BR>
<BR>A questo punto le altezze di ABC saranno gli assi di A\'B\'C\'
<BR>e ci siamo ricondotti a dimostrare l\'unicità del circocentro
<BR>che è abbastanza trivial.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 13-02-2004 10:37 ]
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Simo_the_wolf
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- Località: Pescara
Interessante... Avevo trovato una dimostrazione simile x il circocentro e l\'incentro:
<BR>il circocentro è il punto di incontro degli assi quindi basta mettere a sistema due assi e otteniamo il punto desiderato. Facendo con la geometria analitica scriviamo il sistema (utilizzando il luogo geometrico):
<BR>
<BR>d(P,B)=d(P,A)
<BR>d(P,B)=d(P,C)
<BR>
<BR>che è equivalente al sistema (utilizzando il metodo di sostituzione)
<BR>
<BR>d(P,B)=d(P,A)
<BR>d(P,A)=d(P,C)
<BR>
<BR>Vistlo che i due sistemi hanno la medesima sol possiamo dire che i tre assi concorrono in uno stesso punto...
<BR>il circocentro è il punto di incontro degli assi quindi basta mettere a sistema due assi e otteniamo il punto desiderato. Facendo con la geometria analitica scriviamo il sistema (utilizzando il luogo geometrico):
<BR>
<BR>d(P,B)=d(P,A)
<BR>d(P,B)=d(P,C)
<BR>
<BR>che è equivalente al sistema (utilizzando il metodo di sostituzione)
<BR>
<BR>d(P,B)=d(P,A)
<BR>d(P,A)=d(P,C)
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<BR>Vistlo che i due sistemi hanno la medesima sol possiamo dire che i tre assi concorrono in uno stesso punto...