Divisibilita\' di polinomi

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Da un sito francese:
 1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
 
 2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
 aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 13-02-2004 17:41 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

2) (x - 1) | g(x) => g(1)=0
 ora, sia g(x)=f(x^n).
 se g(1)=0 anche f(1)=0 (infatti 1^n=1)
 inoltre,qualsiasi valore a tale che a^n = 1 sarà radice di g(x).
 Infatti g(a)=f(a^n)=f(1)=0.
 Quindi tutte le radici di x^n - 1 sono anche radici di g(x) ovvero
 (x^n - 1) | g(x)=f(x^n).

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

non ci crederai ma e` praticamente uno dei problemi che mi hanno
 chiesto 20 minuti fa durante l`orale di aritmetica.
 
 Lemma utile (anzi direi fondamentale)
 Affinche` un polinomio ne divida sempre un altro
 e` necessario che le radici del primo siano anche
 radici del secondo.
 
 Lemma altrettanto utile
 Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
 allora ne ammette anche il coniugato
 
 Ora, visto che x²+x+1=(x³-1)/(x-1), un polinomio nella
 forma x^m + x^n + 1 e` divisibile per x²+x+1 se e solo
 se w^m + w^n + 1 = 0, dove w e` la radice terza dell`unita`.
 Ora, visto che x²+x+1 e` il polinomio minimo di w su Q,
 w^m + w^n + 1 = 0 se e solo se m=1 mod 3 e n=2 mod 3, oppure
 il contrario. La dimostrazione del tuo problema e` un
 corollario di questo fatto interessante:
 
 x²+x+1 divide x^2m + x^m + 1 se e solo se 3 non divide m.

LB · Messaggio da LB » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
 allora ne ammette anche il coniugato
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Posto che abbia coefficienti reali.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

c\'e\' qualcosa che NON sapete?
 Domanda ,forse, con risposta scontata.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Propongo qui un altro problema!
 
 Determinare tutte le soluzioni intere di a^2-3ab-a+b=0
 
 Ciao

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-13 18:30, andrea84 wrote:
 Propongo qui un altro problema!
 
 Determinare tutte le soluzioni intere di a^2-3ab-a+b=0
 
 Ciao
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 a²-3ab-a+b=0
 
 a|b=ka
 
 a-3ka+k-1=0
 a=(1-k)/(1-3k)=(1-3k+2k)/(1-3k)= 1+2k/(1-3k)
 
 2k/(1-3k) deve essere intero, quindi
 
 |2k|>=|1-3k|
 
 k<0 --> -2k>=1-3k k>=1 mai
 
 k>=0 --> 2k>=3k-1 k<=1
 k=1 --> a=0 b=0
 k=0 --> a=1 b=0

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

come mai necessariamente a|b?

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

a(a-3b-1)=-b
 
 b==0 (mod a)

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Io ho fatto così:
 
 Riscriviamo l\'equazione come:
 (a-b)(3a-1)=2a^2
 
 quindi (3a-1)|(2a^2) il che è vero se e solo se 3a-1=2 o 3a-1=+-1 dalla prima abbiamo a=1 e b=0 dalla seconda a=0 e b=0
 
 dove sbaglio?
 
 Ciao

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-13 17:25, karl wrote:
 Da un sito francese:
 1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
 
 2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
 aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Grazie per la traduzione comunque!

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

con un metodo un po\' meno creativo e tutt\'altro che elegante
 
 si considera la relazione come un\'eq di II grado in a, e si ricava a con la solita formula. poi si impone che il polinomio sotto radice sia un quadrato perfetto
 
 9b2+2b+1=k2
 
 poi si esprime b nuovamente con la formula risolutiva, si impone che sotto radice ci sia un quadrato perfetto, ecc... finchè non si arriva a
 
 h2+8=j2 ==>
 
 8=(j+h)(j-h) da cui j=3, h=1 oppure j=9/2, h=7/2
 
 sostituendo nelle equazioni trovate lungo la strada si ricava b=0, e quindi la relazione iniziale diventa a2-a=0, da cui a=0 o a=1

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

ma è giusta la mia soluzione?

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

qualcuno mi risponda,per favore <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">