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Una caratteristica notevole del primo problema è che può essere risolto anche se si è totalmente all\'oscuro di disuguaglianze fra medie ed affini.
<BR>
<BR>1) Siano a_1, a_2,..., a_n, b_1, b_2,..., b_n numeri reali positivi tali che
<BR>suma_i = sumb_i.
<BR>Dimostrare che
<BR>2(sum(a_i)²/(a_i+b_i)) >= suma_i
<BR>
<BR>2) Dimostrare che esistono infiniti triangoli T tali che le lunghezze dei lati di T sono interi consecutivi e l\'area di T è intera.
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<BR>3) Dimostrare che il prodotto di k interi consecutivi è sempre divisibile per k!
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<BR>Ciao

Mi cimento col primo. Con S(x_i) intendo la somma di x_1, x_2, ..., x_n.
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<BR>Si ha che S((a_i-b_i)^2/(a_i+b_i))>=0 cioe\'
<BR>
<BR>S(a_i+b_i-4a_ib_i/(ai+b_i))>=0 cioe\'
<BR>
<BR>2S(a_i+b_i-2a_ib_i/(ai+b_i))>=S(a_i+b_i) cioe\'
<BR>
<BR>2S((a_i^2+b_i^2)/(a_i+b_i)>=2S(a_i) da cui la tesi.
<BR>
<BR>Infatti, essendo S(a_i-b_i)=0, risulta S(a_i^2/(a_i+b_i))=S(b_i^2/(a_i+b_i)).
<BR>
<BR>Ciao
<BR>sprmnt21
<BR>PS
<BR>LordGauss e\' questa la prova che dicevi? in fondo, come ho letto da qualche parte, tutte le diseguaglianze non sono altro che una riscrittura dellla diseguaglianza fondamentale quella che dice che x^2>=0.
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Io prendo il terzo : tra k numeri CONSECUTIVI ci sono almeno
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<BR>int(k/2) numeri divisibili per 2
<BR>int(k/3) numeri divisibili per 3
<BR>int(k/4) numeri divisibili per 4
<BR>...
<BR>1 numero divisibile per k
<BR>
<BR>dunque il prodotto di k numeri consecutivi
<BR>è sicuramente multiplo di k!
<BR>

Vai col secondo !
<BR>
<BR>Se x, (x+1), (x+2) sono i lati del triangolo
<BR>l\'area, per il t. di Erone, varrà
<BR>
<BR>1/4 rad((3x+3)(x+3)(x+1)(x-1)) =
<BR>
<BR>(x+1)/4 rad( 3(x+3)(x-1) )
<BR>
<BR>ponendo (x+1)=y
<BR>
<BR>y/4 rad ( 3(y+2)(y-2) )
<BR>
<BR>ponendo y=4z
<BR>
<BR>z rad ( 3 (16z^2 - 4) )
<BR>
<BR>resta ora solo da dimostrare che
<BR>l\'equazione
<BR>
<BR>48 z^2 - 12 = w^2
<BR>
<BR>ha infinite soluzioni nei numeri naturali
<BR>w è sicuramente pari, poniamo w=2t
<BR>
<BR>12 z^2 - 3 = t^2
<BR>
<BR>t è multiplo di 3, poniamo t = 3k
<BR>
<BR>4z^2 - 3k^2 = 1
<BR>
<BR>che è un\'altra delle celebri equazioni di Pell,
<BR>ed ha in N (e te pareva) infinite soluzioni.
<BR>
<BR>Le prime ?
<BR>[z ; k]
<BR>
<BR>[1 ; 1]
<BR>[13 ; 15]
<BR>[181 ; 209]
<BR>[2521 ; 2911]
<BR>

Ehi, Jack, si può davvero dire che ai miei problemi hai fatto la Pell.
<BR>Comunque, potresti parlare un po\' di queste equazioni in un nuovo topic?
<BR>
<BR>sprmnt21: la prova che dicevo era del tutto simile alla tua.[addsig]