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Sia ABC un triangolo scaleno con [math]a>b>c, si prenda sul lato BC un punto A’ tale che CA’=CA, e A’’ tale che BA’’=BA, si faccia la stessa cosa sugli altri lati, ovvero, si prenda sulla retta AC un punto B’ (dalla parte di C) tale che AB’=AB e un punto B’’ (dalla parte di A) tale che CB’’=CB, e infine sulla retta AB un punto C’ (dalla parte di A) tale che BC’=BC, e un punto C’’ (dalla parte di B) tale che AC’’=AC;
Dimostrare che le rette A’’B’, B’’C’ e C’’A’ sono parallele.


PS: non vale usare le baricentriche

Dato il triangolo $ABC$ (BC> AC> AB) e i punti $C'$ e $B' '$.

Sappiamo che $ BC'= CB' '= BC $.

Sia $D $ un punto su $BB''$ tale che $AD \parallel B''C '$.
Sia $E $ un punto su $BC $ tale che $DE \parallel AC $.
Sia $F $ un punto su $AC $ tale che $EF \parallel AD $.

Quindi $ ADEF $ è un parallelogramma e $BED \sim BCB''$ (isosceles) $ \rightarrow BE = DE = AF $ (*)

$\Delta BAD \sim \Delta BC'B'' \rightarrow \frac{BA}{BD}=\frac{BC'}{BB''}$ (**)

$\Delta BED \sim \Delta BCB'' \rightarrow \frac{BE}{BD}=\frac{BC}{BB''}$ (***)

Sappiamo che $ BC'= BC $, quindi (**) = (***),

$\frac{BC}{BB''}=\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BD}$

$\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BD}\rightarrow \frac{BA}{BE}=\frac{BD}{BD}=1\rightarrow BE =BA=(*)$

Ciò significa che $ E = A'' $ e $ F = B' \rightarrow B'A''\parallel B''C' $


(Facciamo lo stesso per $ C''A'$)