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Buonasera a tutti. Vorrei chiedere una mano con i problemi 11 e 15 dell'allenamento online di oggi che non sono riuscito a svolgere. Ringrazio in anticipo

Allora ti riporto la mia soluzione dell'esercizio 15.
Cominciamo osservando che le radici del polinomio [math]p(x) sono le radici settime dell'unità (non 1), in quanto [math]x^7-1=p(x)(x-1). Ora notiamo per esempio che se [math]q(x)|p(x) allora deve valere che (chiamerò [math] \xi_7 una radice settima dell'unità) [math]p(\xi_7)=0. Infine notiamo che ovviamente [math](\xi_7)^7=1. In particolare da questo segue che se [math]a\equiv b (mod 7) allora [math](\xi_7)^a=(\xi_7)^b. Dopo avere fatto queste osservazioni preliminari cominciamo a risolvere l'esercizio.

Quello che vogliamo fare è calcolare [math]r(x) tale che [math]p(x)=q(x) \times h(x)+r(x) dove [math]h(x) sarà un certo polinomio di cui ora non ci importa mentre [math]deg(r(x))<deg(q(x))=6 oppure [math]r(x)=0.
Per prima cosa vale che [math]p(\xi_7)=245(\xi_7)^6+605(\xi_7)^5+ 530(\xi_7)^4+ 461(\xi_7)^3+398(\xi_7)^2+341(\xi_7)+290. Visto che non fa zero notiamo subito che [math]q(x) non divide [math]p(x). Considero [math]g(x)=360x^6+75x^4+144x^3+207x^2+264x+315.
Ora scrivo [math]g(x)+p(x)=q(x)h(x)+r(x)+g(x) e ci butto dentro [math]\xi_7. Notiamo che a sinistra adesso viene [math]605\times((\xi_7)^6+(\xi_7)^5+ (\xi_7)^4+ (\xi_7)^3+(\xi_7)^2+(\xi_7)+1)=0. Quindi [math]q(x) divide il membro di sinistra. Allora divide anche il membro di destra e in particolare divide [math]r(x)+g(x) cioè [math]r(x)+g(x)=f(x)q(x).
Scrivo allora [math]g(x)= f(x)q(x) - r(x). A questo punto diventa facile calcolare[math] r(x) perché sia [math]r(x) che [math]g(x) hanno grado 6. L'unica possibilità diventa [math]f(x)=360 e un conto semplice mi dà [math]r(x)=360x^5+284x^4+216x^3+153x^2+96x+45. Valuti in 2 e ottieni il risultato cercato.

Sono stato un po' prolisso per cercare di essere il più chiaro possibile ma non so se ci sono riuscito