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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Tratto dal libro Le olimpiadi della Matematica della Zanichelli.
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<BR>Il polinomio P(x)=a_n x^n+...+a_1 x+a_0 ha coefficienti interi. Dimostrare
<BR>che se P(2) e P(3) sono dispari allora l\'equazione P(x)=0 non ha radici
<BR>intere.
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<BR>ciao
<BR>sprmnt21
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Da P(2)=2k+1 si deduce che a_0 è dispari, e da P(3)=2j+1 si deduce che P(x)-a_0 è pari.
<BR>Pertanto P(x) è dispari per ogni x intero, e dunque non ammette radici intere.
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<BR>.....
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<BR>Fatto questo, sono andato a controllare la soluzione del libro, che è piuttosto lunga; pertanto in ciò che ho detto vi deve essere un errore, ma dove?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Quale soluzione?
<BR>Nell\'edizione che ho io, questo problema e\' nell\'ultimo capitolo. Quello dei problemi proposti senza soluzioni.
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<BR>A parte qualche dettaglio (dovresti solo spiegare, perche\' non e\' immediato secondo me, come da p(3)=dispari si arriva a dire che p(x)-a_0=pari) la linea della tua soluzione coincide con la mia.
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<BR>Sono curioso di conoscere la versione \"ufficiale\".
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<BR>ciao
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<BR>sprmnt21
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Ho controllato meglio. Il libro che abbiamo è lo stesso.
<BR>Ciò a cui tu ti riferisci è l\'esercizio MISC20, che è però del tutto simile all\'esercizio ALG36, nel quale si sa che ad essere dispari sono P(0) e P(1) anzichè P(2) e P(3).
<BR>La soluzione ufficiale data ad ALG36 sfrutta le proprietà delle radici razionali di un polinomio.
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<BR>Ciao
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Provo a dare qualche dettaglio in piu\' su un modo di risolvere il problema.
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<BR>P(2)=2k+1 per ipotesi. Ma P(2)=a_n 2^n + ...+a_1 2+ a_0= 2 N + a_0. Quindi a_0=2(k-N)+1 cioe\' a_0 e\' dispari.
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<BR>Pertanto P(x)=0 per x pari non ha soluzioni.
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<BR>Vediamo cosa succede per x dispari. Sia x=2h+1 riscriviamo x=2(h-1)+3=2j+3
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<BR>Allora P(2h+1)=P(2j+3)=a_n (2j+3)^n+ ...+ a_1 (2j+3) + a_0.
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<BR>Dato che (2j+3)^r=2M(r)+3^r allora P(2h+1)=a_n 2M(n) + a_n 3^n +...+ a_1 2M(1) + a_1 3+a_0= 2M+P(3).
<BR>Pertanto P(2h+1) e\' un numero dispari e quindi non puo\' essere zero.
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<BR>ciao
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<BR>sprmnt21
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