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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Biagio
ma_go, ripropongo il tuo problema...mi piace
<BR>
<BR>dimostrare che per ogni primo p>2 esiste una ed una sola coppia di interi positivi tali che
<BR>m<sup>2</sup>=n(n+p), e trovare tale coppia in funzione di p.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 24-02-2004 18:18 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
carino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Se p=2k+1, n=k<sup>2</sup>, m=k(k+1) (p>2)
<BR>Per l’unicità : si verifica facilmente che nè m, nè n possono essere multipli di p
<BR>Supponiamo che m<sup>2</sup>=n(n+p) e k<sup>2</sup>=h(h+p) con m=\\=k, n=\\=h e per simmetria n>h, m>k
<BR>
<BR>Allora p=(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)/n=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h
<BR>
<BR>Da cui h(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)=n(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>Quindi h|n o h| k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>Nel secondo caso, anche h|k, e quindi h|p, assurdo
<BR>
<BR>Quindi h|n => n=jh (j>1) => h(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>)=jh(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>)=j(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>quindi j|(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>), da cui segue che j|m
<BR>
<BR>ma se j|n e j|m, allora j|p, assurdo
<BR>
<BR>quindi j=1, n=h e m=k
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Giulia89
Ma siete pazzi? uffa parlate solo di mate! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da bobby_fischer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-24 20:48, Giulia89 wrote:
<BR>Ma siete pazzi? uffa parlate solo di mate! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Questo è il sito delle Olimpiadi della Matematica.
<BR>Questa è la categoria del forum \"Proponi gli esercizi\".
<BR>Se non ti va bene, vai nella categoria \"Non solo matematica\" e se ti sembriamo pazzi anche lì sei libera di andartene.
<BR>Scusami per il mio sfogo un po\' duro ma non capisco di cosa vuoi parlare in un forum sugli esercizi di matematica!!
<BR>Ciao
<BR>Nick
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Antimateria
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Non si può entrare due volte nello stesso fiume (Erodoto)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma non era Eraclito?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da bh3u4m
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-24 21:20, Antimateria wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Non si può entrare due volte nello stesso fiume (Erodoto)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma non era Eraclito?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Era appunto Eraclito, forse intendeva fare dell\'umorismo sugli autori, l\'avrà scritto apposta.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Giulia89
Scusa nick, non volevo offendere! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da bobby_fischer
Oops,
<BR>Intanto, l\'orribile firma era mia e non so perchè si è infilato lì quando ho quotato il messaggio di Giulia89...
<BR>era Eraclito? Chiedo scusa ma avevo trovato la citazione sul mio ex raccoglitore fdi francese che a quanto pare non era molto bene informato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>Comunque quella citazione mi fra davvero schifo ma non ho trovato altro...
<BR>Ciao
<BR>Nick
<BR>P.S. La tolgo subito, potrebbe fare altri danni facendosi vedere in giro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da febiz2004
avevo scritto una cavolata...scusate<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: febiz2004 il 25-02-2004 18:50 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da info
Oppure, usando un metodo più diretto.
<BR>n ed (n+p) nn hanno fattori in comune a parte 1 e p. infatti se
<BR>
<BR>a/p (leggasi a divide p) e
<BR>a/(n+p)
<BR>allora a/n+p-n -->a/p.
<BR>
<BR>Se n ed n+p hanno come fattore comune p allora
<BR>n=kp n+p=kp+p sostituendo
<BR>m^2=p^2*K(k+1)
<BR>cioè k(k+1) deve essere un quadrato: assurdo.
<BR>
<BR>n ed n+p sono quindi primi tra loro--->n è un quadrato.
<BR>L\'uguaglianza diventa m^2=k^2*(k^2+p)
<BR>Dimostriamo che esistono solo 2 quadrati che differiscono di p per dimostrare l\'unicità della soluzione.
<BR>Se
<BR> k^2+p=c^2
<BR>allora p=(c+k)(c-k) [c+k>1]
<BR>da cui c-k=1--->c=k+1 [p è primo]
<BR>Sostituendo il valore di c si trova p=2k+1, ovverosia k=(p-1)/2.
<BR>Cioè, dato un primo p, solo quel valore di k soddisfa il problema.
<BR>Ricordando cosa era k, si trova la sol di Talpuz.
<BR>
<BR> Ciao
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Biagio
la soluzione che avevo fatto io era uguale a quella di Info, ma vedo che anche quella di Talpuz dovrebbe funzionare, ma non capisco una cosa:
<BR>tu dici:
<BR>
<BR>Allora p=(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)/n=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h
<BR>
<BR>Da cui h(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)=n(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>Quindi h|n o h| k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>ma se h non è primo potrebbe avere fattori che dividono n e altri che dividono k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>.
<BR>...l\'ho letta adesso velocemente, quindi molto probabilmente mi sbaglio
<BR>
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 26-02-2004 13:32 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
invece hai perfettamente ragione, Biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>cmq (mi sembra) basta modificare la cosa in questo modo: sia z un fattore comune a h e k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>allora z|h e z|k, da cui z|p, assurdo
<BR>
<BR>quindi h|n, e da qui dovrebbe andare
<BR>
<BR>grazie per l\'osservazione cmq!
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
ok, allora..
<BR>giusto per amore della correttezza, la mia soluzione non funziona <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>se h e k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup> sono coprimi, p=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h è frazionario..
<BR>
<BR>vabbè, amen..
<BR>