Pagina 1 di 1
Exinscritta e tangenti
Inviato: 27 ago 2019, 10:46
da Carlo42
In un triangolo [math]ABC sia [math]\omega l'ex-cerchio opposto al vertice [math]A e siano [math]D, E, F i punti di tangenza di [math]\omega con le rette [math]BC, CA, AB rispettivamente. La circonferenza [math]AEF interseca la retta [math]BC nei punti [math]P e [math]Q. Sia [math]M il punto medio di [math]AD. Dimostrare che la circonferenza [math]MPQ tange [math]\omega.
Re: Exinscritta e tangenti
Inviato: 27 ago 2019, 18:09
da Pit
Una soluzione un po' contosa.
Re: Exinscritta e tangenti
Inviato: 30 ago 2019, 20:53
da Davide Di Vora
Siano $I_a$ l'ex-centro opposto al vertice $A$, $X$ la seconda intersezione di $AD$ con $\omega$, $N$ il punto medio di $DX$ e $T\equiv BC\cap EF$.
Visto che $I_aN \perp DX$, i punti $A$, $E$, $F$, $I_a$ e $N$ si trovano sulla circonferenza di diametro $AI_a$. Quindi
$$PD \cdot QD=2DM\cdot DN=DM \cdot DX$$
quindi il quadrilatero $MPXQ$ è ciclico.
Noto che $T$ si trova sulla polare di $A$ rispetto a $\omega$ e quindi $AD$ è la polare di $T$ rispetto a $\omega$ e quindi $TX$ tange $\omega$. Inoltre noto che $T$ è il centro radicale tra $(AEF)$, $(MPXQ)$ e $\omega$ e quindi $TX$ tange anche $(MPXQ)$ e questo dimostra la tesi.