Sia [math] un triangolo acutangolo e sia [math] l’ortocentro. Detto [math] il punto medio di [math], sia [math] il punto medio di [math] e sia [math] il circocentro del triangolo [math].
Dimostrare che [math] è un parallelogramma.
Tecnico ma facile
Re: Tecnico ma facile
Da quando in qua fai anche G tu?
Re: Tecnico ma facile
Sia [math] il centro della circonferenza di Feuerbach di [math]. Sappiamo che [math] è punto medio di [math]; inoltre, abbiamo che, detto [math] il piede dell'altezza uscente da [math], [math] e [math] appartengono alla circonferenza di Feuerbach di [math] e [math], da cui segue che [math] e [math] sono diametralmente opposti e che [math] è il loro punto medio. Osserviamo ora il quadrilatero [math]: le due diagonali [math] e [math] si bisecano, e dunque il quadrilatero è un parallelogramma.
Ma [math] perché [math] è punto medio di [math] e [math] per quanto dimostrato in precedenza. Dunque [math] e inoltre [math] e [math] sono parallele perché sono rispettivamente asse e altezza di [math]. Quindi [math] ha due lati paralleli e congruenti, da cui la tesi.
Ma [math] perché [math] è punto medio di [math] e [math] per quanto dimostrato in precedenza. Dunque [math] e inoltre [math] e [math] sono parallele perché sono rispettivamente asse e altezza di [math]. Quindi [math] ha due lati paralleli e congruenti, da cui la tesi.
Re: Tecnico ma facile
Da quello che dici nella frase "osserviamo ora ..." credo tu abbia sbagliato a considerare il punto $O$, non è quello standard
Re: Tecnico ma facile
Hai ragione, la forza dell'abitudine...
Ora provo il vero problema allora
Ora provo il vero problema allora
Re: Tecnico ma facile
Ci riprovo...
Poiché [math] appartiene all'asse di [math], [math] è perpendicolare a [math] e dunque parallela ad [math]. Quindi ci basta mostrare che [math].
Per quanto detto nel post precedente, abbiamo che, detto [math] il circocentro di [math], [math]. Dimostreremo dunque che [math]. Per angle-chasing (qui salto un po' di conti) abbiamo [math] e dunque, poiché [math] è perpendicolare a [math], [math]. Ma sempre per angle-chasing si ottiene [math] e dunque [math] e [math] sono simmetrici rispetto a [math] e in particolare [math], da cui la tesi.
Poiché [math] appartiene all'asse di [math], [math] è perpendicolare a [math] e dunque parallela ad [math]. Quindi ci basta mostrare che [math].
Per quanto detto nel post precedente, abbiamo che, detto [math] il circocentro di [math], [math]. Dimostreremo dunque che [math]. Per angle-chasing (qui salto un po' di conti) abbiamo [math] e dunque, poiché [math] è perpendicolare a [math], [math]. Ma sempre per angle-chasing si ottiene [math] e dunque [math] e [math] sono simmetrici rispetto a [math] e in particolare [math], da cui la tesi.