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Sia [math]ABC un triangolo acutangolo e sia [math]H l’ortocentro. Detto [math]P il punto medio di [math]AH, sia [math]M il punto medio di [math]BC e sia [math]O il circocentro del triangolo [math]BHC.
Dimostrare che [math]APOM è un parallelogramma.

Da quando in qua fai anche G tu?

matpro98 ha scritto: ↑12 nov 2019, 23:38 Da quando in qua fai anche G tu?

Dopo la tua lezione di Febbraio non faccio quasi nient’altro

Sia [math]N il centro della circonferenza di Feuerbach di [math]ABC. Sappiamo che [math]N è punto medio di [math]OH; inoltre, abbiamo che, detto [math]D il piede dell'altezza uscente da [math]A, [math]M, D e [math]P appartengono alla circonferenza di Feuerbach di [math]ABC e [math]\angle MDP=90, da cui segue che [math]M e [math]P sono diametralmente opposti e che [math]N è il loro punto medio. Osserviamo ora il quadrilatero [math]MOPH: le due diagonali [math]MP e [math]OH si bisecano, e dunque il quadrilatero è un parallelogramma.
Ma [math]AP=PH perché [math]P è punto medio di [math]AH e [math]PH=MO per quanto dimostrato in precedenza. Dunque [math]AP=MO e inoltre [math]MO e [math]AH sono parallele perché sono rispettivamente asse e altezza di [math]BC. Quindi [math]APOM ha due lati paralleli e congruenti, da cui la tesi.

Da quello che dici nella frase "osserviamo ora ..." credo tu abbia sbagliato a considerare il punto $O$, non è quello standard

Hai ragione, la forza dell'abitudine...
Ora provo il vero problema allora

Ci riprovo...
Poiché [math]O appartiene all'asse di [math]BC, [math]OM è perpendicolare a [math]BC e dunque parallela ad [math]AP. Quindi ci basta mostrare che [math]AP=OM.
Per quanto detto nel post precedente, abbiamo che, detto [math]Q il circocentro di [math]ABC, [math]QM=AP. Dimostreremo dunque che [math]QM=OM. Per angle-chasing (qui salto un po' di conti) abbiamo [math]\angle BOM= \angle BAC e dunque, poiché [math]OM è perpendicolare a [math]BC, [math]\angle OBM=90-\angle BAC. Ma sempre per angle-chasing si ottiene [math]\angle MBQ=90- \angle BAC e dunque [math]Q e [math]O sono simmetrici rispetto a [math]BC e in particolare [math]OM=QM, da cui la tesi.