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$a+b+c >= 6$
$ab + bc + ca >= 12$
$a^2 + b^2 + c^2 >= 12$

sostituisci ab=8/c e similmente negli altri numeatori

$\frac{ab+4}{a+2}=\frac{\frac{8}{c}+4}{a+2}=\frac{4c+8}{c(a+2)}=\frac{4(c+2)}{c(a+2)}$
Analogamente per tutte le altre frazioni. A questo punto $AM-GM$ dà la tesi dato che
$$\frac{4(c+2)}{c(a+2)}+\frac{4(a+2)}{a(b+2)}+\frac{4(b+2)}{b(c+2)} \geq 3\sqrt[3]{\frac{4^3(a+2)(b+2)(c+2)}{abc(a+2)(b+2)(c+2)}}=6$$