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Provate a vedere modulo $p$ e modulo $q$ cosa succede

Residui quadratici? Com'era quella storia dei simboli di Legendre e le loro proprietà?

Usate la legge di reciprocità quadratica nel caso in cui $p$ e $q$ sono entrambi dispari, e vedete che cosa esce

Scriviamo [math]p+q^2=a^2 e [math]p^2+q^n=b^2, con [math](a,b,n) \in \mathbb N_0^3. Osserviamo subito che [math]p \neq 2: in caso contrario la prima equazione non tornerebbe modulo [math]4. D'altronde, anche [math]q \neq 2: se così non fosse, si avrebbe, sempre dalla prima equazione, [math]p=(a-2)(a+2), da cui, per primalità di [math]p, segue [math]a=3, [math]p=5. Dunque, dalla seconda equazione, si avrebbe [math]2^n=(b+5)(b-5), ma si verifica facilmente che non esistono potenze di [math]2 la cui differenza è [math]10. Quindi [math]p e [math]q sono dispari, e perciò [math]a e [math]b sono pari. Poichè il quadrato di un pari è congruente a [math]0 e il quadrato di un dispari è congruente a [math]1 modulo [math]4, nella prima equazione deve aversi [math]p+1 \equiv 0 \mod 4, cioè [math]p \equiv 3 \mod 4, e nella seconda [math]q^n \equiv 3 \mod 4. Per quanto detto prima, dall'ultima congruenza scritta segue [math]n dispari, [math]q \equiv 3 \mod 4. Dalla legge di reciprocità quadratica abbiamo che, per due primi dispari [math]p e [math]q distinti, [math]\displaystyle\bigg(\frac{p}{q}\bigg)\bigg(\frac{q}{p}\bigg)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}, dove le parentesi indicano il simbolo di Legendre. Essendo [math]p \equiv q \equiv 3 \mod 4, si ottiene [math]\displaystyle \bigg(\frac{p}{q}\bigg)\bigg(\frac{q}{p}\bigg) = -1. Tornando alla prima equazione, [math]p \equiv a^2 \mod q, quindi [math]\displaystyle \bigg(\frac{p}{q}\bigg)=1, e perciò sarà [math]\displaystyle \bigg(\frac{q}{p}\bigg)=-1. D'altronde, dalla seconda equazione, [math]q^n \equiv b^2 \mod p, perciò [math]\displaystyle\bigg(\frac{q^n}{p}\bigg)=1. Poichè il simbolo è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore, posso scrivere [math] \displaystyle \bigg( \frac{q}{p} \bigg) \bigg( \frac{q^{n-1}}{p} \bigg) = \bigg( \frac{q^n}{p} \bigg), da cui segue [math]\displaystyle \bigg( \frac{q^{n-1}}{p} \bigg)=-1, ma dalla definizione del simbolo di Legendre segue che questa uguaglianza è falsa, essendo [math]n dispari e dunque [math]n-1 pari.