OliForum Matematico

Ciao a tutti, ho un problema nel capire una dimostrazione e magari può essere un esercizio, nel dubbio inserisco nei problemi di algebra.

Dati $a_1,..., a_n$ e $b_1,...,b_n$ complessi

Ho che $|\sum a_j b_j^* |^2 =< \sum|a_j|^2 \sum|b_j|^2$.

$b_j^*$ é il coniugato di $b_j$

Pongo $A = \sum|a_j|^2$ ; $B = \sum|b_j|^2$ ; $C = \sum a_j b_j^*$

Per dimostrarlo ho questa equazione:

$\sum|Ba_j - Cb_j|^2 = B(AB - |C|^2)$

Quello che mi chiedo è come posso ottenere il LHS di questa uguaglianza (l'uguaglianza é vera non ho voluto inserire i passaggi intermedi perché non mi interessano)

Se stai chiedendo come passare dall' ultima uguaglianza che hai scritto a Cauchy-Schwarz, allora basta osservare che $\sum | Ba_j-Cb_j |^2 \geq 0$ (è la somma di quadrati di moduli di numeri complessi) e quindi $B(AB-|C|^2) \geq 0$. Ma $B\geq 0$, perché somma di quadrati di moduli. Quindi il termine che è moltiplicato per $B$ deve essere $\geq 0$, altrimenti il prodotto sarebbe $\leq 0$. Quindi $AB−|C|^2 \geq 0 \Leftrightarrow AB \geq |C|^2 \Leftrightarrow \sum |a|^2 \sum |b|^2 \geq |\sum ab^*|^2$. Spero di non aver sbagliato nulla

no, sto chiedendo come ricavare $\sum|Ba_j - Cb_j|^2$

In effetti mi sono accorto di essere molto scemo, inserisco i valori intermedi sotto spoiler (così può rimanere un esercizio da fare) e da essi andando a ritroso si ottiene il LHS.
Però mi chiedo come mai l'autore del mio libro non sia partito da $B(AB - |C^2 |) $, la leggevo e rileggevo e mi chiedevo, come posso ottenere $\sum|Ba_j - Cb_j|^2$ proprio perché l'autore del mio libro parte da lì.