DIVISIONE IN COLONNA

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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symonmasini79
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DIVISIONE IN COLONNA

Messaggio da symonmasini79 »

non sapendo dove postare e non essendoci una sezione dedicata alla storia della matematica ho deciso di farlo

qua. perchè si fa così la divisione in colonna tradizionale?

mi spiego meglio con un esempio:

voglio dividere 324 per 13:

32 è maggiore di 13 e lo abbasso, poi divido il 32 per il 13 che fa 26 e avanza 6. Quindi abbasso le centinaia e le decine infatti 32 sono in realtà 3 centinaia e 2 decine. Non è una contraddizione scrivere il 26 sotto le decine e
le centinaia e poi fare la sottrazione per continuare la divisione. Come si spiega?
non so se conoscete le lingue morte dove potrebbe essere racchiuso questo mistero!!!!
Simone Masini
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Messaggio: 87 di 87
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Sonoda
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Re: DIVISIONE IN COLONNA

Messaggio da Sonoda »

A prima vista può sembrare strano ma penso ci si possa fare un'idea con un po' di logica anche senza studiare latino o sanscrito. Metto i __ al posto degli spazi sennò mi collassa la scrittura, disegnare qua è abbastanza difficile. Facciamo 325/13 (=25) che dà un risultato intero.

325| 13
___|-------
___|
___|

Quello che ci viene insegnato è di prendere il primo pezzo divisibile, ossia 32 e sottrarci il numero minore multiplo di 13, quindi:

324| 13
26_|-------
___| 2_
___|

Quello che in realtà quel 2 sotto al tredici significa è 20, e l'operazione che abbiamo appena fatto in realtà è 320-13*20, solo che per semplificare il procedimento e non riempire tutto di 0 immagino che storicamente siano stati omessi.
La domanda è però perché funziona, per farlo pensiamo il procedimento al contrario. La soluzione sarà un numero "ab" dove a è la cifra delle decine e b quelle delle unità.
Si ha che 13*ab=325. O se scomponiamo il prodotto 13*a*10 + 13*b = 325.
O in altre parole 325-13*10*a = 13*b.

Ora, per trovare "a" quello che sappiamo è che 13*a*10 deve essere quanto più possibile vicino a 325(se per esempio facciamo i furbi e diciamo a=1 dopo si avrà che b è uguale a 15, o in altre parole la decina che volevamo far finta di non vedere alla fine torna nella somma, quindi per avere subito i numeri corretti andiamo più vicino possibile). Quindi l'a più vicino è 2, avendo quindi a*13*10=260.

Tornando alla definizione di partenza 13*a*10 + 13*b = 325, si può ricavare che 13*b = 325-13*a*10 = 325-260 = 65.
A questo punto potresti però obiettare "nella sottrazione in colonna faccio 32-26, ossia 320-260 e non 325-260", per cui potresti osservare che nel metodo insegnato, subito dopo la sottrazione quello che si fa è "far scendere il numero dopo", ossia 30-26=4 e gli attacchi un 5 in fondo. Questa operazione è in realtà una somma: [ 320-260=40 ] +5 = 45. Quindi al posto di fare 325-260 fai 320-260+5, questo non influisce sul risultato perché essendo 13*a*10 multiplo di 10 è indifferente che ci sia un 5 o uno 0.

Si ripete quindi questo procedimento per b:
64-13*b, si ha che b è 5, quindi 64-13*b=64-13*5=0

a=2, b=5 quindi il risultato è 25.

Ora potresti chiederti perché con i numeri con la virgola funzione, e un possibile modo di vederla è che volendo puoi moltiplicare la frazione in modo da far diventare il risultato intero, che abbiamo visto funzionare, oppure notare che il procedimento non richiede mai che il numero sia prima o dopo la virgola.
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