Disuguaglianza non omogenea
Inviato: 15 apr 2020, 19:41
Siano [math] reali. Dimostrare che vale
[math]
e trovare i casi di uguaglianza.
[math]
e trovare i casi di uguaglianza.
Testo nascosto:
Poniamo $abc=p$, $ab+bc+ca=q$ e $a+b+c=s$, sostituendo nella disuguaglianza troviamo $$2p+2+\sqrt{2(p-s)^2+2(q-1)^2} \geq p+q+s+1 \rightarrow \sqrt{2(s-p)^2+(q-1)^2} \geq (s-p)+(q-1) $$
Ma da $AM-QM$ segue $$ \sqrt{2(s-p)^2+(q-1)^2} \geq |s-p|+ |q-1| \geq (s-p)+(q-1) $$
I casi di uguaglianza sono quelli che soddisfano $s-p=q-1 \geq 0$, volendo essere più precisi possiamo dire che $a=\frac{-bc+b+c+1}{bc+b+c-1}$ con $bc+b+c-1>0$.
Ma da $AM-QM$ segue $$ \sqrt{2(s-p)^2+(q-1)^2} \geq |s-p|+ |q-1| \geq (s-p)+(q-1) $$
I casi di uguaglianza sono quelli che soddisfano $s-p=q-1 \geq 0$, volendo essere più precisi possiamo dire che $a=\frac{-bc+b+c+1}{bc+b+c-1}$ con $bc+b+c-1>0$.