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Siano [math]m,n interi positivi.
[math]\alpha e [math]\beta giocano su una griglia [math]mx[math]n.
All'inizio del gioco, nell'angolo in basso a sinistra è presente una pietra.
A turno, ciascun di loro, muove la pietra in alto o a destra di un certo numero di caselle.
Vince chi porta la pietra nell'angolo in alto a destra.
Determinare chi dei due ha la strategia vincente, in funzione di [math]m e [math]n.

α perde sse n=m

In generale mi sembra che chi si trova nella "diagonale" che passa per la casella di arrivo perde, in quanto dopo una sua qualsiasi mossa l'altro risponde ripordandosi sulla diagonale.
Cioè se siamo su una casella (m-k, n-k) e un giocatore muove p caselle in alto, l'altro risponde spostando di p caselle a destra e quindi
si porta sulla posizione (m-k+p, n-k+p) che è sempre della stessa forma (m-k, n-k).
Quindi se n=m allora [math]\alpha è in una posizione perdente all'inizio.
In caso contrario [math]\alpha è in una posizione vincente in quanto con una mossa di porta sulla diagonale vincente.

Corretto!

E per una griglia 3D nxmxk ?