Direttamente dalle Putnam

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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TeoricodeiNumeri
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Iscritto il: 14 lug 2019, 09:58

Direttamente dalle Putnam

Messaggio da TeoricodeiNumeri »

Determinare l'insieme di tutti i numeri interi che si possono esprimere come $a^3+b^3+c^3 - 3abc$ per qualche $a, b, c\in \mathbb{N} $. (William Lowell Putnam Mathematical Competition, 2019).
J23
Messaggi: 5
Iscritto il: 25 feb 2024, 16:22

Re: Direttamente dalle Putnam

Messaggio da J23 »

Testo nascosto:
Tutti i numeri naturali tranne quelli che sono divisibili per 3 ma non per 9 possono essere espressi come [math], dove [math].
Consideriamo la funzione [math]. Per AM-GM, si ottiene [math]:
[math].
I valori sopra descritti possono essere ottenuti nel seguente modo:
[math], [math], [math], [math].
Rimane da dimostrare che se [math], allora [math].
Poiché [math], implica che [math] se [math].
Controllando [math] in modulo 9, si ricava che l'espressione è congrua a zero se [math]. Poiché [math], allora [math], che è chiaramente divisibile per 3 poiché [math].
.
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