Tutti i numeri naturali tranne quelli che sono divisibili per 3 ma non per 9 possono essere espressi come [math]a^3+b^3+c^3-3abc, dove [math]a, b, c\in \mathbb{N}.
Consideriamo la funzione [math]f(a,b,c) = a^3+b^3+c^3-3abc. Per AM-GM, si ottiene [math]f \geq 0:
[math]\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \geq abc.
I valori sopra descritti possono essere ottenuti nel seguente modo:
[math]f(0,0,0) = 0, [math]f(n+1,n,n) = 3n+1, [math]f(n-1,n,n) = 3n-1, [math]f(n+1,n,n-1) = 9n.
Rimane da dimostrare che se [math]3 \mid f(a,b,c), allora [math]9 \mid f(a,b,c).
Poiché [math] a^3+b^3+c^3-3abc \equiv a+b+c \mod 3, implica che [math]3 \mid f(a,b,c) se [math]3 \mid a+b+c.
Controllando [math]a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)^3-9abc - 3\sum_\text{cyc}a^2(b+c) in modulo 9, si ricava che l'espressione è congrua a zero se [math]3 \mid \sum_\text{cyc}a^2(b+c). Poiché [math]b+c \equiv -a \mod 3, allora [math] \sum_\text{cyc}a^2(b+c) \equiv \sum_\text{cyc}-a^3 \mod 3, che è chiaramente divisibile per 3 poiché [math]3 \mid a+b+c.